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自然之秘——数学与自然 2.1 生命的 螺线状星云M51 英国艺术家A. C. Stewart的作品：螺线星云 用数学语言来说，螺线指的就是在平面极坐系中，如果极径ρ随极角θ的增加而成比例增加（或减少），这样的动点所形成的轨迹叫做螺线。世间万物，各有其性，以植物而言，枝蔓茎干绝大多数都是直向生长的，而有一些植物却是盘旋生长的 牵牛花 松鼠 牵牛花藤蔓是用最短的距离缠绕在支架上生长的，而松鼠在爬树的过程中，所选择的路径也是最短的。这样一来，我们不禁要问了，为什么它们会选择这样的螺线形式呢？其中隐含着一定的数学知识，因为圆柱螺线是圆柱面上最短的路径。当我们把圆柱面沿着一条直线剪开并展开成一个平面时，构成圆柱螺线的这些点就会落在一条直线上，通过上面得到圆柱螺线的过程，这一点是很容易理解的。而我们知道两点之间线段最短，因此，圆柱面上不在一条母线、也不在垂直于母线的圆上的两点P和Q，以通过P和Q的螺线距离最短。所以，我们可以知道牵牛花的藤蔓是用最短的距离缠绕在其它树枝上生长的，而松鼠在爬树的过程中，所选择的路径也是最短的。 但是，还值得一提的是，不同的植物它缠绕的方向也是有区别的，像上面所说的牵牛花，它缠绕其它植物或支架的方向是从右向左旋的，如果人为地将其缠成左旋，它生出新藤后仍右旋特性。令人惊的是，还有极少数植物藤蔓的螺旋是左右兼有的如葡萄就是靠卷须缠住树枝攀援而上，方向忽左忽右，既没有规律也没有定式。英国著名科学家科克曾把植物的螺旋线称为生命的曲线。植物的枝蔓茎干为什么会出现左右旋转生长的现象呢?一般认为，这是由于南北半球的地球引力和磁力线共同作用。。 对数螺线 如果想要得到这样一个优美的对数螺线，我们也可以自己动手做做看，在一根绳子的一端拴住一个石子，将整段绳子缠绕在石子上，在头顶上方旋转挥舞，让绳子慢慢松开，绳子的长度不断增加，它增加的长度与石子转过的角度会成正比，此时，石子运动的轨迹就是一条对数螺线。 我们下面不妨来看看自然界中的对数螺线吧！ 这是一叶载着珍珠的小舟， 行驶在万里无云的汪洋。 这爱冒险的小舟飞驰前方， 在甜蜜的夏日展开紫色的翅膀。 她沉醉于迷人的海湾， 那里有塞壬的歌声悠扬； 碧波中的珊瑚礁熠熠生光， 美人鱼离开水府的闺房， 飘散着长长的秀发， 沐浴着暖暖的骄阳。 O. W. Holmes 这是美国诗人福尔摩斯（O. W. Holmes, 1809～1894）吟咏鹦鹉螺的诗句。鹦鹉螺之吸引诗人，并激起他的丰富的想象，在于螺壳独特的形状——一条等角螺线。也许正是这神奇的形状，让苏格兰博物学家和数学家汤普森（D’Arcy Thompson, 1860～1948）语出惊人：地球上所有动物和植物只有通过数学才能理解！ 鹦鹉螺 汤普森与鹦鹉螺壳 那么，为什么鹦鹉螺身上的纹路会是对数螺线呢？这是因为这种动物的发育模式与拴在绳子上转动的石头相似，它们在生长过程中，螺壳每转过一定角度，螺身也按特定的比例发育。 马达加斯加总统拉齐拉卡于1985年赠国家主席 李先念的鹦鹉螺化石（菊石），重15kg。 实际上，许多贝壳动物身上都有这种曲线。此外，象鼻、羊角、鹦鹉的爪子等也都成等角螺线形。圆网蛛也能织出这种曲线。 圆网蛛 自然界到处都是这样出色的数学天才。向日葵、菠萝、松果、雏菊等植物花果中都有这种曲线。法国著名昆虫学家法布尔曾经说过：“几何，以及面积上的和谐，支配着一切。几何存在于松果鳞片的布置中，也存在与圆网蛛的黏胶丝上；蜗牛的螺旋上升斜线里有几何，蜘蛛网的念珠里有几何，行星轨道里也有几何；几何到处存在，不管在原子世界里还是在无限辽阔的宇宙中，几何都是非常高明的！” 法布尔 蜗牛 向日葵 松果 对数螺线最早是由笛卡尔1638年引进的，后来许多数学家又做了研究，尤其是瑞士的数学家雅各·贝努利（Jacob Bernoulli, 1654～1705） 雅各·伯努利 伯努利的墓碑 2.2 蜜蜂的智慧 圆网蛛没有学过对数螺线，但却能织出优美的对数螺线；同样，蜜蜂也没有学过镶嵌理论，却能造出完美的蜂房！对此，我们不得不为之感到惊讶！伟大的生物学家达尔文曾经说过这样一句话：“蜂房的精巧构造十分符合需要，如果一个人看到蜂房而不倍加赞赏的话，那他一定是个糊涂虫。” 蜜蜂制造蜂房遵