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高等数学考前复习要点
第一章 函数与极限
函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念,极值方法是最基本的方法,一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数
集合、常量与变量
1、集合:集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……等来表示,组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素,就记aM(读a属于M);若事物a不是集合M的一个元素,就记aM或aM(读a不属于M);集合有时也简称为集。
注 1:若一集合只有有限个元素,就称为有限集;否则称为无限集。
2:集合的表示方法:
3:全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4:集合间的基本关系:若集合A的元素都是集合B的元素,即若有,必有,就称A为B的子集,记为,或(读B包含A)。
显然:.
若,同时,就称A、B相等,记为A=B。
5:当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如:{1,2,2,3}={1,2,3}。
6:不含任何元素的集称为空集,记为,如:{}=,{}=,空集是任何集合的子集,即。
7:区间:所有大于a、小于b<的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)= 。
同理:[a,b]=为闭区间,和分别称为左闭右开、左开右闭的区间,统称为半开区间。
以上均成为有限区间,a、b分别称为左、右端点。
对无穷区间有:,
在不特别要求下,有限区间、无限区间统称为区间,用I表示。
8:邻域:设a和为两个实数,且0.集合称为点a的邻域,记为,a为该邻域的中心,为该邻域的半径,事实上,
。
同理:我们称为a的去心邻域,或a的空心邻域。
9:集合的内容很多,其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。
2、常量与变量:在自然科学中,我们会遇到各种不同的量,然而在观察这些量时,发现有着非常不同的状态,有的量在过程中不起变化,保持一定的数值,此量称为常量;又有些量有变化,可取各种不同的数值,这种量称为变量。
【例】掷同一铅球数次,发现铅球的质量、体积为常量,而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。
注1:常量与变量是相对而言的,同一量在不同场合下,可能是常量,也可能是变量,如在一天或在一年中观察某小孩的身高;从小范围和大范围而言,重力加速度可是常量和变量,然而,一旦环境确定了,同一量不能既为常量又为变量,二者必居其一。
2:常量一般用a,b,c……等字母表示,变量用x,y,u,t……等字母表示,常量a为一定值,在数轴上可用定点表示,变量x代表该量可能取的任一值,在数轴上可用动点表示,如:表示可代表中的任一个数。
函数的概念
【例】正方形的边长与面积之间的关系为:,显然当确定了,也就确定了。
这就是说,同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。
定义:设和为两个变量,,为一个给定的数集,如果对每一个,按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应,就称为的函数,记为.数集称为该函数的定义域,叫做自变量,叫做因变量。
当取数值时,依法则的对应值称为函数在时的函数值。所有函数值组成的集合称为函数的值域。
注 1:函数通常还可用等表示。
2:约定:函数的定义域就是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值的全体。
【例1】 的定义域为,值域为。
【例2】 的定义域为,值域为。
【例3】 的定义域为,值域为。
【例4】 的定义域为,的定义域为,从而显然。
3、若对每一个,只有唯一的一个与之对应,就称函数为单值函数;若有不止一个与之对应,就称为多值函数。如:等。以后若不特别声明,只讨论单值函数。
4、函数的表示法有三种:解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍,它是借助于数学式子来表示对应法则,上例均为解析法,注意例3的法则是:当自变量在上取值,其函数值为;当取0时,;当在上取值时,其函数值为。(这种函数称为分段函数,在以后经常遇见,希望注意!)尽管有几个不同的算式,但它们合起来只表示一个函数!
5、对中任一固定的,依照法则有一个数与之对应,以为横坐标,为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当取遍中的每一数时,便得到一个点集,我们称之为函数的图形。换言之,当在中变动时,点的轨迹就是的图形。
【例5】 书上的几个例子。(同学们自己看)
【例6】 例3的图形如下图
函数的几种特性
函数的有界性:设在上有定义,若对,使得:,就称在上有界,否则称为无界。
注:1、若对,,使得,就称在上有上(下)界。在上有界在上同时有上界和下界。
2、在上无界也可这样说:对,总,使得。
【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的;例2中的函数是无界的,
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