边缘分布函数与边缘分布密度边缘分布函数与边缘分布密度.pptVIP

例4 如果二维随机变量的概率分布用下列表格给出那么当? , ?取什么值时，X与Y才能相互独立？ 例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2和=1的指数分布，求 解 据题意，X的密度函数为 今向一个半径为r的圆内随机投点，则点落在圆内面积相等的不同区域内的概率相等，即落点坐标(X, Y)服从D：x2+y2≤r2区域上的均匀分布. （1）判断X与Y是否相互独立； （2）计算落点（X，Y）到原点的距离不超过a的概率(0 ar) . 解 把坐标原点置于圆心建立直角坐标系, 该圆域的面积为?r2，则的联合密度函数为 （1）判断X与Y是否独立，即判断对于一切的，等式 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布 §3.2 边 缘 分 布 设(X, Y)的联合分布函数F(x, y)则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为: 3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 1 p.1 p.2 … p.j … P{Y=yj} p1. p2. pi. p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … pi1 pi2 … pij … … … x1 x2 xi P{X=xi} y1 y2 … yj … X Y ( i = 1,2, …) ( j =1,2, …) 例如 1. 离散型二维随机向量的边缘分布 ( i =1,2, …) ( j = 1,2, …) 设 (X, Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj}, 则 (X, Y) 的边缘分布列为 FY(y) = F(+∞ ,y) = FX(x) = F(x,+∞) = (X, Y) 的边缘分布函数为： 即 P1. p2. ··· pi. ··· pi. x1 x2 ··· xi ··· X p.1 p.2 ··· p.j ··· p.j y1 y2 ··· yj ··· Y 1. 离散型二维随机向量的边缘分布 你只要把每列的概率相加放在该列的最下面，把每行的概率相加放在该行的最右面，就大功告成了。 把第一行和最后一行拿出来就是X的分布；把第一列和最后一列拿出来就是Y的分布。 例1 已知随机向量（X，Y）的联合分布如下表，求关于X 和Y 的边缘分布。 边缘分布pi.和p.j分别是联合分布表中第i行和第j列各联合概率之和． 0. 1 0 0. 15 2 0. 1 0. 05 0. 3 1 0 0. 2 0. 1 0 2 0 -1 Y X 0. 2 0. 25 0. 55 p.j 0. 3 0. 45 0. 25 0 0. 1 0. 1 0. 2 0. 05 0 0. 1 0. 3 0. 15 0 1 2 pi. 2 0 -1 Y X 设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为 f(x,y) 由于 所以 例2 设随机变量（X，Y）的密度函数为 试求参数k的值及X和Y的边缘密度。 通常分别称上式为二维随机变量关于X和Y的边缘密度函数或边缘密度。 2. 二维连续型随机变量边缘概率密度函数 解 根据联合密度函数的性质，有 所以 X的边缘密度函数 当0≤x≤1时， 当0x或x1时, 故 同理可得 解 令 可见 X~ N(μ1,σ12 ) , Y~ N(μ2,σ22 ). 例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。 定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有 F(x，y) = FX(x) FY(y) P{X≤x, Y≤y} = P{X≤x} P{Y≤y} 则称随机变量X与Y是相互独立的。 1. (X, Y)是离散型 若(X