高一数学对称问题课件高一数学对称问题课件.ppt

* 一.中心对称(关于点的对称) (一）点关于点的对称 点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为(2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0)的对称点坐标为(-x,-y). 练习: (1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点. (2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标. (二）直线关于点的对称 直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0. 例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程. 解:(法一)直接代入上面结论 (法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上. (法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等. 一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0 特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0 . 二.轴对称(即关于直线的对称) 例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标. 解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即; =-1 ① 线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 在直线l上,故有 2 - -5=0 ② (一)点关于直线的对称: 联立①② 解得m=9 n= -7 ∴B(9,-7) （法二）∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1） ∴直线AB的方程为y-1=- （x+7） 即x+2y+5=0 由 解得 即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1） 由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）. 小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法: (1)（综合求解） 由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组: 由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标 (2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标. （3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0 的对称点Q的坐标为 一般地： 点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0） 点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0） 点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b） 点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b） 点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（ x0，-y0） 点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0） 点（x0，y0）关于直线y=m的对称点为（x0，2m-y0） 点（x0，y0）关于直线x=n的对称点为（2n-x0，y0） 注：当对称轴的斜率为±1或对称轴与坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。 （二）直线关于直线的对称 例3.求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程. 解:设直线m, l, n的斜率分别为k1 ,k, K2 . 由直线关于直线对称的定义知:直线m到直线l的角等于直线l到直线n的角.又k1=1,k=3 ∴ 解得:k2=-7 由 解得 x y o m n l 即直线m,l,n的交点为 ∴直线n的方程为 法(二): 在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直 线l的对称点A1 落 在直线n上,然后解出直线l和 m的交点,由直线方程的两点式求出直线n的方程. 例4.已知△ABC的顶点为A(-3,0), B(0,3), C(3,-12)求:∠A的内角平分线所在的直线方程. 解（法一）设 :∠A平分线所在直线l的斜率为k ∵直线AC到l的角等于l到直线AB的角,又kAC=-2, kAB=1 ∴ ∴K=3- 其方程为 即 （法二）设∠A的内角平分线交直线BC与点T ∵ ∠A的内角平分线的斜率K∈(-2,1), ∵ ∴ ∴点T分有向线段