高三数学一轮复习必备精品：空间夹角和距离高三数学一轮复习必备精品：空间夹角和距离.doc

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料 第37讲 空间夹角和距离 一．【课标要求】 1． 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 （1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用三角形来求角直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下： 找过斜线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； 把该角置于三角形中计算。 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小 （1）点到直线的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等③体积法异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离 （3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离（）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为； （3）用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 法向量求