高三文科数学一轮复习之平面向量高三文科数学一轮复习之平面向量.doc

向量复习 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．，其方向是任意的，与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+== （1）；（2）向量加法满足交换律与结合律； ，但这时必须首尾相连．长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 ②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、 4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= 6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算： 若，则 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 若，则 若，则 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立： ； 6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则·= 8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥ 10两个非零向量垂直的充要条件： ⊥·＝O平面向量数量积的性质 题型一：向量的概念与几何运算 〖例1〗出下列命题：①若，则； ②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若，则； ④的充要条件是且∥； ⑤若∥，∥，则∥。其中，正确命题的序号是____________答案：②③。 〖例2〗2011四川如图1－2，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) 图1－2 A．0 B． 　　C．. 　D． 【解析】 ＋＋＝＋－＝－＝，所以选D.〖例〗已知非零向量满足–b |=|a|，则与–b的夹角为（ ） A． B． C． D．答案：〖例〗已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？ 解：由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即， 整理得. ①若共线，则可为任意实数； ②若不共线，则有，解之得，. 综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明． 2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行． 3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可． 4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．题型二：平面向量的坐标运算 〖例1〗设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 θπ)，∥，求证：k≥． 证明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥〖例2〗均为单位向量，它们的夹角为，实数、满足，则的取值范围是　　　． 解：由已知，．因关于的方程有解，故． 〖例〗已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值． 解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝〖例〗2011湖南在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________. 【解析】 由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A，D(0,0)，B，E，故＝，＝， 所以·＝－×＝－.〖例〗在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P． (1) 若＝(3，5)，求点C的坐标； (2) 当||＝||时，求点