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第一章 算法初步 1．1 算法与程序框图 1．1．1 算法的概念 一、概念 算法：是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 二、理解 （1）根据定义，算法是指按照一定规则解决某类问题的明确和有限的步骤。因此，算法一经确定，它的步骤是“明确和有限的”，也就是说该算法是固定的。因此，算法具有“固定性”的特征。 正因为算法具有固定性的特征，人们才可能将算法编成计算机程序。计算机程序具有固定性，如果要改变算法，就必须重新编写计算机程序。 （2）算法的步骤必须是有限的。如果一个算法的步骤是无限的，则该算法就没有实际应用的价值。因此，在“算法”的定义中，特别强调了算法步骤的有限性特征。 （3）因此，与一般的解决问题的过程相比，算法最重要的特征是：方法的固定性和步骤的有限性。 （4）针对某类问题，可能存在解决该类问题的多个算法。即，算法可能不是唯一的。 一般情况下，只要解决某类问题的方法不是唯一的，算法就可能不是唯一的。 例如，教材P2中的例2，用“二分法”求方程的近似解的算法，是求的近似值的一个算法。其实我们还可以采用“逐步逼近法”来求的近似值。其算法如下： 第一步：确定精度（例如，，其实就是“逐步逼近法”第一步的步长。） 第二步：确定某初始值，满足 第三步：计算，及 第四步：判断是否大于2，如果，则算法结束，为的近似解；如果，则将记为，返回第三步。 例如，取，的初始值为，计算过程及结果如下表。 1.4 1.405 1.974025 1.405 1.410 1.9881 1.410 1.415 2.002225 由上表可知，当时，，算法结束，得。 “逐步逼近法”的原理，就是每次向“解”靠近一小步，“步幅”越小，求出来的解的精度就越高。 1．1．2 程序框图与算法的基本逻辑结构 一、程序框图 程序框图又称为流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。 （1）程序框包括：终端框（起止框），输入、输出框，处理框（执行框），判断框共4种类型。 终端框（起止框） 功能：表示一个算法的起始和结束。 输入、输出框 功能：表示一个算法输入和输出的信息。 处理框（执行框） 功能：表示赋值或计算的步骤。 判断框 功能：判断某一条件是否成立的步骤。成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。 （2）流程线是指连接程序框的线。流程线是有方向，箭头指向的下一个程序框，就是流程的下一个步骤。 （3）文字说明，一般标记在各种流程框内，用来描述该流程框的具体功能。 简要地说，一个完整的程序框图必须包含有程序框、流程线，以及用来描述各程序框的功能的文字说明。 或者说，程序框图包括三个要素：程序框、流程线、文字说明。 二、算法的基本逻辑结构 （一）名词解释 1、逻辑：“逻辑”这个词有多个不同的含义。在这里，“逻辑”表示思维的规律性或规则。 所谓“算法逻辑”，可以简单地理解为“算法的规则”。 2、算法的逻辑结构：是指算法中各步骤之间的关系。 （二）算法的基本逻辑结构 1、顺序结构：是指算法步骤之间的关系为“顺序关系”的逻辑结构。 例如，在上图中，算法步骤“输入”和算法步骤“”之间为前、后关系，即顺序关系。存在这种顺序关系的逻辑结构就称为“顺序结构”。 所以，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的。顺序结构是最基本的逻辑结构，是任何一个算法都离不开的基本结构。 顺序结构可以用下列程序框图表示： 教材P9例3，是利用海伦—秦九韶公式设计的一个计算三角形面积的算法。该算法共有4个步骤，这4个步骤是依次被执行的，即算法步骤之间的关系为“顺序关系”，所以这个算法的逻辑结构为“顺序结构”。 （海伦—秦九韶公式：已知△的三边长分别为，记，则△的面积） 2、条件结构：是指算法的流程需要根据条件是否成立来决定下一步骤的一种算法逻辑结构。 所以，“条件结构”的算法，必须要有一个“条件判断”的步骤，然后根据“是”或“否”的判断，分别决定后续的算法步骤。 “条件结构”有两种常见的形式。可用下列两个流程框图表示： 从流程框图可以看出这种常见形式的区别： （1）形式之一：执行“判断步骤”后，如果判断为“是”，则接下来依次执行步骤A，步骤C，……；如果判断为“否”，则接下来依次执行步骤B，步骤C，……。 （2）形式之二：执行“判断步骤”后，如果判断为“是”，则接下来依次执行步骤A，步骤C，……（这与形式之一是相同的）；如果判断为“否”，则接下来（跳过步骤A）直接执行步骤C（这