高二数学辗转相除法高二数学辗转相除法.ppt

学以致用 1.求解不定方程326X+78Y=2的一组 整数解 学以致用 2.设计一个程序，求两个正整数的最小公倍数。 （提示：最小公倍数=两数之积除以最大公约数） 学以致用 3.甲，乙，丙三种溶液分别重147克，343克， 133克，现要将它们分别全部装入小瓶中， 每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶 最多装多少？ * * 算 法 案 例 高二.五班 1. 回顾算法的三种表示方法： （三种逻辑结构） （1）、自然语言 （2）、程序框图 （3）、程序语言 （五种基本语句） 复习引入: 2. 思考： 小学学过的求两个数的最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除， 一直除到所得的商是互质数为止，然 后把所有的除数连乘起来. 例：求下面两个正整数的最大公约数： 求22和6的最大公约数 22 2 11 6 3 所以，22和6的最大公约数为2 思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？ 例：如何算出8251和6105的最大公约数？ 22＝6×3＋4； 6＝ 4×1＋2； 4 ＝ 2×2＋0 6cm 22cm ？ 试用数学的方法，求得此正方形的边长？ 新课讲解： 一、辗转相除法（欧几里得算法） 1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。 欧几里德 辗转相除法, 又名 欧几里德算法 ( Euclid ean algorithm)乃求两 个正整数之最大公因子 的算法。它是已知最古 老的算法, 其可追溯至 3000年前。 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才 停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ (1)、算法步骤： 第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m. (2)、程序框图： 开始 输入m,n r=m MOD n m=n r=0? 是 否 n=r 输出m 结束 (3)、程序： INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 （1）、《九章算术》中的更相减损术： 1、背景介绍： （2）、现代数学中的更相减损术： 2、定义： 所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。 例: 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 3、方法： 1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数． 练习： 思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。 2、求324、243、135这三个数的最大公约数。 思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。 (1)、算法步骤 第一