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习题课 第五章 定积分及其相关问题 一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、与定积分概念有关的问题的解法 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 1 n x x e 例1. 求 lim ∫0 dx . x n →∞ 1+e n x x e 解: 因为 0 ≤ ≤x n , 所以 [x0,∈1] 时, x 1+e 1 n x 1 1 x e n 0 ≤ ∫0 1+ex dx ≤x ∫0 x d n +1 1 n x x e 利用夹逼准则得 lim ∫0 d x 0x →∞ n 1+e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 思考例1下列做法对吗 ? 利用积分中值定理 n ξ ξ e 原式 lim 0 ξ n →∞ 1+e n ,且 不对 ! 因为ξ 0 1. ≤ξ ≤ 依赖于 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如, P265 题4 − 1≤x p 1 p −1 x p(0 ≤1 1) ≤x ≤ 1+x 1+x p 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ⎡sin π sin 2π sin nπ⎤ 例2. 求 n n + + + n (考研98 ) I lim ⎢ 1 1 ⎥ n→n∞ ⎢⎣n +1 +2 n +n ⎦⎥ 解：将数列适当放大和缩小，