解析函数柯西黎曼方程.doc

1 引言 解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann方程等价形式． 现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的． 本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式． 2 基本概念与定理 定义2．1 设函数定义于区域， ．如果极限 存在，则称在点可导或可微，其极限值称为函数在点的导数，记为或．即 ． 有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数． 定义2．2 如果函数在区域内每一点都可微，则称在内解析，并称是区域内的解析函数． 如果函数在的某一邻域内解析，则称在点解析．而函数在闭区域上解析，即存在区域，使，而在内解析． 若在区域内除了可能有些例外点外，函数在内其它各点都解析，则这些例外点称为的奇点． 试证明在点可微，但在平面上任何点都不解析． 证： 先证在点可微．因 故在点可微，且． 设，令，则，至少有一个不为零．又令，考虑极限 当沿平行于实轴的方向趋近时，因，故 当沿平行于虚轴方向趋近于时，因，故 因为，至少有一个不为零，于是．故当时，不可微．因而除外，都不可微．在处尽管函数可微，但不存在的一个邻域，使在此邻域内每一点都可微，故在点也不解析，从而在平面上任何点都不解析． # 此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析． 有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理： 定理2．3 设函数定义与区域，，则在点处可微的必要与充分条件是：，在点处可微，且满足Cauchy-Riemann方程 （1） 证： 必要性 设，．因在点可微，则有．令．即得 （2） 当时，．令，，，则当，时，，．于是由（2）式， 其中，．则比较实部与虚部，则 ， （3） 其中与与，无关．因 ， 而当，时，，．故当时，，于是．同理．由（3）即知，在点处可微，且在点处有 ，，，， 于是 ， 因此满足Cauchy-Riemann方程． 充分性 设，在点处可微，则在点处有 ． ． 其中，，．因Cauchy-Riemann方程（1）成立，如令，，则 ． 故 ． 其中．因 （当）， 故 ． 于是 ． 因此在点可微． # ３ 几种不同形式的Cauchy-Riemann方程 3．1 梯度形式 定理3．1 设，，的Cauchy-Riemann方程等价于 （4） 证：若实形式的C-R条件成立，即 那么有 其中，分别与轴，轴正向相同的单位矢量． 反之，若（4）式成立，则有 （5） 设那么，方程组（5）化为 （6）此方程组的系行列式为 = 事实上，若 ． 由（5）式可知． 故我们有 即 ． 这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解．于是 复形式 若考虑二实变数的复值函数，引进复变数则． 于是 这里形式地把考虑为与的函数，而把与视为独立的自变量，因此可以对自变量与