必威体育精装版23第三节-牛顿切线法.pptVIP

数学学院 信息与计算科学系 返回 下页 上页 数学学院 信息与计算科学系 数学学院 信息与计算科学系 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 第三节 牛顿切线法 一、牛顿法的基本思想 设已知方程 f (x) = 0 的近似根 x0，且在 x0附近 可用一阶泰勒多项式近似，表示为 当 f (x0) ≠0 时，方程 f (x) = 0 可用线性方程近似代替，即 解此线性方程得 取此 x 作为原方程的新近似根 x1，重复以上步骤， 得迭代公式 此式称为牛顿(Newton)迭代公式。 例 1 用牛顿法求方程 在 内一个实根，取初始近似值 解 所以迭代公式为： 列表计算如下： 111.3733333 1.5 3 2 1 0 n 将原方程化为 x – e – x = 0，则 牛顿迭代格式为 取 x0 =0.5，迭代得 x1=0.566311, x2=0.5671431, x3=0.5671433 f(x)= x –e – x ， f ’(x)=1+ e – x, 用牛顿迭代法求方程 x = e –x 在 x =0.5 附近的根。 例2 解 二、牛顿法的几何意义 方程 的根就是曲线 与 轴交点的横坐标 ，当初始值 选取后，过 作切线，其切线方程为： 它与x轴交点的横坐标为： 一般地，设 是 的第n 次近似值，过 作 的切线，其切线与x 轴交点的横坐标为： 即用切线与 x 轴交点的横坐标近似代替曲线 与x 轴交点的横坐标，如图2-4。 若过曲线 y= f (x)上的点 P ( xk , f ( xk ))引切线， 该切线与 x 轴交点的横坐标即为由牛顿迭代公式 求得的 xk+1 , 因此牛顿迭代法也称牛顿切线法。 图2-4 定理 设 在 满足 则方程 在 上有且只有一个实根，由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列 收敛于方程 的根 三、牛顿迭代法的收敛性与收敛速 牛顿迭代法的迭代函数为 由于 所以当 时, 1、当 为单根时，牛顿迭代法在根 的附近至少 是二阶收敛的； 2、当 为重根时，设为m重根，则 f (x)可表为 其中 此时用牛顿迭代法求 仍然收敛，只是收敛速度将大大减慢。 不一定为 0 数学学院 信息与计算科学系 返回 下页 上页 数学学院 信息与计算科学系 数学学院 信息与计算科学系 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是