SPSS在数学建模中的应用实例.docx

２０１２年１１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＶｏｃａｔｉｏｎａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅｓＮｏｖ．２０１２ＳＰＳＳ在数学建模中的应用实例周静（天津冶金职业技术学院，天津３００４００）摘要：为研究某公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，利用ＳＰＳＳ１８．０进行回归分析，建立牙膏的销售量与其它因素的回归模型，说明ＳＰＳＳ在解决数学建模中预测问题时更具优越性。关键词：ＳＰＳＳ１８．０；回归分析；数学建模中图分类号：Ｏ２９文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－５８２Ｘ（２０１２）１１－００９３－０４在数学建模中，由现实数据建立模型，通常采用的方法是回归分析。回归分析是通过规定因变量和自变量来确定变量之间的因果关系，建立回归模型，然后根据模型参数来评价该模型的拟合情况，并可根据自变量作进一步预测。较之Ｍａｔｌａｂ数学软件中的回归分析功能，ＳＰＳＳ统计软件的优势在于其图形交互式用户界面更易于操作，且数据结果可读性强、容易导出。下面，以某公司生产的牙膏销售量为例，利用ＳＰＳＳ１８．０进行回归分析，建立牙膏的销售量与其它因素的回归模型，说明ＳＰＳＳ在解决数学建模中预测问题时更具优越性。一、数据来源某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此销售部的研究人员收集了过去３０个销售周期（每个销售周期为４周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及其他厂家生产同类牙膏市场的平均销售价格。二、数据分析因消费者在购买牙膏时，更关心的是不同品牌之间的价格差，所以在研究各个因素对销售量的影响时，采用价格差代替公司的销售价格和其他厂家平均价格作为影响因素之一。因此，将价格差和广告费用作为自变量，牙膏的销售量作为因变量，采用ＳＰＳＳ１８．０中文版进行数据分析。（一）绘制散点图打开数据文件窗口的对话框，在菜单栏依次单击“图形”→“旧对话框”→“散点／点状”，选择“简单分布”，并分别将广告费用和价格差作为自变量选入Ｘ轴，销售量作为因变量选入Ｙ轴，绘制散点图。图１广告费用与销售量的散点图图２价格差与销售量的散点图收稿日期：２０１２－０３－２３作者简介：周静（１９８３－），天津市人，天津冶金职业技术学院讲师，从事应用数学方面的研究。·９３·（二）曲线估计从散点图来看，价格差与销售量呈现较明显的线性趋势，而广告费用和销售量呈现较明显的曲线趋势，但要判定两个变量更适合于哪个模型，则需要进行曲线估计。在菜单栏依次单击“分析”→“回归”→“曲线估计”，分别将广告费用和价格差选入自变量，销售量选入因变量，在模型选项组勾选“线性曲线”、“二次项曲线”和“立方曲线”三种曲线回归模型。表１广告费用与销售量曲线估计的模型摘要由表１可以看出，三个曲线估计的回归模型中，二次项曲线模型与立方曲线模型的拟合度显著优于线性模型，其中拟合度最好的是二次项曲线模型，其Ｒ２值为０．８３８，并且从Ｆ值来看，二次项曲线模型比立方曲线模型拟合的更为显著。因此，选择二次项曲线模型最为理想，即ｙ＝β０＋β１ｘ１＋β２ｘ１＋ε，其中ｘ为２１广告费用，ｙ为销售量，ε为随机误差，βｉ为回归系数。表２价格差与销售量曲线估计的模型摘要由表２可以看出，三个模型的拟合度基本相同，其中拟合度最好的是立方曲线模型，其次是二次项曲线模型，但立方曲线模型的参数比另外两种模型的参数多，更为复杂。若从Ｆ值来看，线性模型拟合的最为显著。但以上的结果还不足以作出判断，还需要对各模型系数作显著性检验。重复上述操作，并且在曲线估计对话框勾选“显示ＡＮＯＶＥ表格”。表３价格差与销售量的曲线估计的模型系数由表３可以看出，对三个模型系数进行显著性检验后，只有线性模型的系数均达到显著水平，而另外两种模型系数的ｐ值至少有一个大于０．０５。因此，选择线性模型最为理想，即ｙ＝β０＋β１ｘ２＋ε，其中ｘ２为价格差，ｙ为销售量，ε为随机误差，βｉ为回归系数。三、模型建立与求解（一）模型一由曲线估计知，价格差与销售量适合线性模型，而广告费用与销售量更适合二次项曲线模型。但因二次函数可以转化为线性函数，所以可将广告费用的平方作为一个新的自变量引入，从而采用多元线性回归分析，建立价格差、广告费用、广告费用的平方与牙膏的销售量的回归模型一，即ｙ＝β０＋β１ｘ１＋β２ｘ２＋β３ｘ３＋ε，其中ｘ１为广告费用，ｘ２为价格差，ｘ３为广告费用的平方，ｙ为销售量，ε为随机误差，βｉ为回归系数。多元回归分析之前，需引入新的变量。从“转换”菜单中，打开计算变量对话框，输入新的目标变量名，即广告费用的平方，然后在数字表达式中编辑函数，生成新的变量。接下来在“分析”菜单中，打开线性回·９４·模型回归系数标准差ｔｐ线性