§ 傅里叶级数.ppt

第 * 页 ■ ▲ 第 * 页 ■ §2.2 傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式 波形的对称性与谐波特性 傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率——Parseval等式 一、傅里叶级数的三角形式 1.三角函数集 在一个周期内是一个完备的正交函数集。 由积分可知 {1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 2．级数形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率?=2?/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数 系数an , bn称为傅里叶系数 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。 其他形式 式中，A0 = a0 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为直流分量 A1cos(?t+?1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同 A2cos(2?t+?2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍 一般而言，Ancos(n?t+?n)称为n次谐波。 可见：An是n的偶函数， ?n是n的奇函数。 an = Ancos?n， bn = –Ansin ?n，n=1,2,… 将上式同频率项合并，可写为 二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标 bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数——对称于原点 an =0，展开为正弦级数。 例 三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 系数Fn 称为复傅里叶系数 利用 cosx=(ejx + e–jx)/2可从三角形式推出： 推导 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…} 傅里叶系数之间关系 n的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数: bn ，?n 四、周期信号的功率——Parseval等式 直流和n次谐波分量在1?电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。 周期信号一般是功率信号，其平均功率为 这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。 证明 第 * 页 ■ ▲ 第 * 页 ■