举世闻名的中国剩余定理.doc

举世闻名的中国剩余定理? ——兼谈南宋秦九韶及清朝黄宗宪工作 ? 从“鬼谷算”的猜岁数游戏谈起? 猜谜语这种民间游戏，在中国有几千年的历史了。可是你知道不知道还有一种猜岁数的游戏在一千多年前也曾是中国人民的一种游戏？ 让我们借想像的羽翼飞到那古老的年代，飞到那位于富庶肥沃的关中平原，那《诗经》所说：“径以渭蜀”的径水、渭水流域上的古城长安。长安是个像杜甫的诗歌所描写的：“渔阳豪侠地，击鼓吹笙竽，云帆转辽海，粳稻来东吴。越罗与楚练，照耀与台躯”一个很热闹繁华的城市。 我们不单听到吹竽鼓瑟、击筑弹琴，也见到斗鸡走犬。而位于大街的酒家，高朋满座。最热闹的是靠南城门的墙脚地方，只见许多人围绕在一个竹竿高挂上写“鬼谷神算”的布条下。挤进去看，我们看到一个有仙风道骨模样的老人对另一位老观众说：“大爷不需告诉我岁数，只需讲你的岁数除以二、三、五后的余数是多少，就可以了。” “用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用五除嘛是余三。”只见算命先生摆弄一下竹筹，就说：“大爷今年73岁了，有道是人生七十古来稀，大爷童颜鹤龄，龙马精神，真是有福。”他算对了，是怎么样算出来呢？ 1970年国际数学界上流传一个轰动的消息：本世纪的德国大数学家希尔伯特（D．Hibert 1862-1943在1900年于巴黎举行的国际数学家会议上举出的23个重要数学难题，其中第十题是和数论有关，已被苏联一个才22岁的青年尤里、马蒂杰雪维奇（Y．B．Matiyasevic）所解决了。 他在解决这问题时，利用了斐波那契数、美国数理逻辑家研究的成果，并在一个关键地方用到一个中国人在1500年前就发现的一个定理。 这个定理在18世纪时欧洲大数学家欧拉，高斯先后重新发现，而在1852年时英国来华的传教士伟烈亚力（A．Wylie）在《中国科学摘记》一书向欧洲人介绍中国古代劳动人民这个数学发现以及南宋时期的数学家秦九韶在这方面的工作。以后的数学家都公认这个定理是中国人民最早发现的，因此特别称它为“中国剩余定理”。（Chinese remainder theorem） 今天，我尝试把这定理的来源简略地介绍给读者，而重点是放在秦九韶以及清朝黄宗宪两人在这方面的一些成果，这些东西不是“古董”可以放进博物院高高挂起，而是在现代的一些数学问题上还有应用的价值，还是可以“古为今用”，而不重视我们先人的文化财产，将只会出现“中为洋用”的现象。 ? 同余的概念? 首先让我介绍德国数学家高斯在200年前想出的一个数学上很重要的概念：“同余”（Congruence）。 给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a-b是n的倍数。用符号a≡b（mod n）来表示。 比方说：7，4，是对模3同余，因为7-4=3。16，52是对模6同余，因为16-52=-36＝6×（-6）。23，13是对模2，模5同余，因为23－13＝10=2×5写成数学式子是7≡4（mod 3），16≡52（mod 6），23≡13（mod 2）或 23≡13 我们现在令Z表示所有的整数集合，给定一个正整数n，我们看同余≡究竟有什么性质？ 首先，对于任何整数a ，我们恒有a≡a（mod n） 因为a-a＝0＝0×n，以上的性质就是“同余具有自反性（Reflexive poperty）。 其次，如果a≡b（mod n），则一定有b≡a（mod n） 因为由a≡b（mod n），我们得a-b=n×k，k是一个整数，因此b-a=-（a-b）＝n×（-k），即b≡a（modn）。我们说“同余具有对称性（Symmetry property）”。 另外如果有a≡b（mod n），b≡c（mod n），则我们可以得到a≡c（mod n）。 这就是“同余具有传递性（Transitive property）”。 让我们看看下面的例子： 例1取n＝2，则我们把整数分成偶数或奇数，就是…… [0]2={0，±2，±4，±6，…±2k，…}包含所有偶数。 [1]2={±1，±3，…±（2k+1)，…}包含所有的奇数。 例2 取n＝3，则 [0]3={…，－9，－6，－3，0，3，6，9，…} [1]3={…，-8，-5，-2，1，4，7，10，…} [2]3={…，-7，-4，-1，2，5，8，11，…} 现在让我问一个问题：“什么数被2除余1？”我想你一定会回答：是所有的奇数，奇数一般可以用2k＋1来表示k＝0，±1，±2，…。这就是在〔1〕2的数。 现在让我再问一个问题：“什么数被3除余2？” 我想你一定会回答：所有形如3k＋2的数，这里k可以等于0，±1，±2，…，这就是在〔2〕3里的数。 这两个问题都是很容易。现在让我们把这两个问题合成一个问题：“什么数被2除余1，被3除余2？” 这里你就必须在〔2〕3里找所有的奇数，即-7，－1，5，1