北航数值分析计算实习题目二 矩阵QR分解.doc

数值分析 实习二 院（系）名称 航空科学与工程学院 专业名称 动力工程及工程热物理 学号 SY0905303 学生姓名 解立垚 题目 试用带双步位移QR的分解法求矩阵A=[aij]10*10的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知 。说明： 1、求矩阵特征值时，要求迭代的精度水平为。 2、打印以下内容： 算法的设计方案； 全部源程序(要求注明主程序和每个子程序的功能)； 矩阵A经过拟上三角话之后所得的矩阵； 对矩阵进行QR分解方法结束后所得的矩阵； 矩阵A的全部特征值，和A的相应于实特征值的特征向量； 其中如果是实数，则令 3、采用e型输出数据，并且至少显示12位有效数字。 算法设计方案 本题采用带双步位移的QR分解方法。 为了使程序简洁，自定义类Xmatrix，其中封装了所需要的函数方法。 在Xmatrix类中封装了运算符重载的函数，即定义了矩阵的加、减、乘、除、数乘运算及转置运算(T())。同时为了避免传递数组带来的额外内存开销，使用引用()代替值传递，以节省内存空间，避免溢出. （1）此程序的主要部分为Xmatrix中的doubleQR()方法，具体如下： Step1：使用矩阵拟上三角化的算法将A化为拟上三角阵A（n-1）(此处调用Xmatrix中的preQR()方法) Step2：令， 其中k为迭代次数。 Step3：如果，则得到A的一个特征值，令，goto Step4;否则goto Step5. Step4： 如果，则得到A的一个特征值，goto Step11;如果，则goto Step11;如果，则goto Step3; Step5(Step6)：如果，则得到A的两个特征值（为右下角两阶子阵对应的特征方程的两个根。），goto Step 11，否则goto Step7： Step7：如果，则得到A的两个特征值(定义同上)，令，goto Step4；否则goto Step8. Step8：如果，则输出“error”否则goto Step9. Step9(Step10)：对A(m×m阶)进行QR 分解，此处调用Xmatrix中的方法QR().令k=k+1，goto Step3. Step11：若到此步，则认为程序已经计算出全部特征值或已超过最大迭代次数k，退出此函数，相当于return 0. （2）在求特征向量对应的特征值时，采用列主元素的高斯消元法，来解方程组(A-λI)x=0，以得出某一组特征向量。在消元法的过程中，首先进行行交换，把aik(i=k,k+1,…,n)中绝对值最大的元素交换到第k行的主对角线上，然后再使用第二种初等行变换进行消元。由于A-λI为非满秩矩阵，故这样变换得到的矩阵ann=0，令xn=1,即可解出某一个特征向量。 具体算法在Xmatrix::Get_Eigenvector中，如下： 消元过程: 对于k=1,2,…,n-1执行 Step1:选行号ik,使 Step2:交换以及所含的数值 Step3:对于计算 回代过程: （3）拟上三角化的过程在Xmatrix::QR()中，具体算法如下： 记，并记的第r列至第n列的元素为 对执行： Step1:若全为零，则令，转（5）；否则转（2）。 Step2:计算 （若，则取） Step3:令 Step4:计算 （4）QR分解的过程在Xmatrix::QR()中，具体算法如下： 记 对于r=1，2，…，m-1执行 Step1:若全为零，则令，转（5）；否则转（2）。 Step2:计算 （若） Step3:令 Step4:计算 此算法执行完后，就得到。 全部源程序 #include stdio.h #include math.h #includeiostream using namespace std; class XMatrix //定义类Xmatrix { private: public: int dim_a,dim_b; //类成员dim_a和dim_b为矩阵的行数和列数 double a[11][11]; //类成员a数组用来存储矩阵元素 XMatrix(int i=1,int j=1):dim_a(i),dim_b(j) //类的构造函数，传递行数和列数 { } void ShowIt() const //此方法用来显示矩阵元素 { for(int i=1;i=dim_a;i++) for(int j=1;j=dim_b;j++) { printf(%1.12f ,a[i][j]);