偏微分方程学习笔记.docVIP

偏微分方程 一．预备知识 1．平面凸集定义：若E是一个平面凸集，则对于E中任意两点x，y，连接这两点的线段也在E内。即 ??x + (1-???y∈E ( 任意x， y∈E ，任意0≤??≤ 1) 2．空间凸集定义：设X是线性空间，E是X中一个空间凸集，如果 ??x + (1-???y∈E ( 任意x， y∈E ，任意0≤??≤ 1) 3．设D是E的一个子集，为凸集，泛函 f : D → R,称为在D上是凸的 是指任意x，y∈D，t∈ [0,1]均有 f?(tx + (1-t??y?≤t f?( x ?? (1-t?? f?( y ? 若只在x = y时取等号，则称f是严格凸的. 4．Cauchy不等式: . 证明：由于，可得. 5.带的Cauchy不等式: . 证明:在公式中，令为，为，则有 6.Young不等式：设且则有 证明: 泛函 f : x → ,是凸的，因此有 从而有 7. 带的Young不等式: 设且则有 证明:在不等式中用和代替，可得 8.Holder不等式：设且若则且 证明：设与是中这样的可测函数 （★） 根据Young不等式有 ， 对上述不等式两边在上积分得 其次，若，则函数 满足（★）式的条件，故有 即 也就是 推论：（1）若则有 （2）若且 设则有 9.Minkowski’s不等式：设，且则有 证明：而 从而有因此有 上面两式相加得 = 即是： ，因此 10.内插不等式：设且有若 则有且有 证明：我们计算，因为即是 利用赫尔德不等式有 两边同时次方得到： 11.柯西-施瓦茨不等式： 证明：让并注意到从而有下列结果 设时取右边的最小值得到 12.Gronwall’s 不等式(differential form). (i)Let be a nonnegative, Absolutely continuous function on which satisfies for a.e t theDifferential inequality (15) Where and are nonnegative, summable functions on Then (16) For all (ii)In particular, if then Proof. From (15) we see For a.e 因此对每一个we have This implies inequality(16). 13.Gronwall’s inequality ( integral form ). (i)Let be a nonnegative, summable function on [0,T] which satisfies for a.e. t the integral inequality (17) For constants Then (18) for a.e. (ii) In particular, if for a.e then Proof. Let According to the differential form of Gronwall’s inequality above Then (17) implies 14.Poincare不等式(也叫Friedrichs不等式) 符号说明：这个集合是线性的。引入内积 则是一个Hilbert空间（即完备的内积空间，完备即是空间中每个Cauchy列都收敛）。把按照中的泛数完备化而得到的空间记为，显然.若取，则可证明下面我们证明Poincare不等式：，，C仅依赖和n. 证明：设且包含在立方体中。扩大的定义域。设在之外u=0.显然而且 ，从而 =由Holder不等式又有 ，从而有.两边在上积分得 上式关于i从1到n求得： ，即是，令，则得，若，作序列使在中，对每个，仍然成立： 令得=.其中常数C仅依赖和n. 称为Poincare不等式(也叫Friedrichs不等式)。 15.下确界定义：设这表示对于任意的，且存在序列使得 16. 序列弱收敛定义: 设若对于任意都有,则称序列弱收敛于记为：? 17. 集合弱列紧定义:集合如果对于任意序列有子列弱收敛于某个则称集合是弱列紧的。在距离空间中，X是紧空间，X是列紧空间及X是全有界和完备的等价。 18. 紧空间定义: 如果X的每一个开覆盖都含有一个有限