地球动力学-GEODYNAMICS054应力应变.ppt

第三章 应力和应变 2－1 应力 应力矢量 应力张量 坐标变换 主应力 摩尔圆 2－2 应变 2－3 在地球动力学中的应用 标量、矢量和张量 应力 体力 面力 外力 内力 应力矢量traction 三要素 作用面 － 指定法线方向矢量 － 法向分量和切向分量量纲 － 单位面积上的力（与压强相同） 应力矢量 Traction 正应力 应力矢量－正应力＋剪应力 面上的应力是多少？ 横截面积 － A 面上的应力是多少？如何描述一点的应力状态？ 面上的应力是多少？ 横截面积 － A 只要知道三个正交面上的应力矢量，便可以唯一确定该点的应力状态 应力张量 已知应力张量，求任何面上的应力矢量 张量表达式 问题1 ?x=5 ?y=5 ?z=-5 ?xy=-5 ?xz=5 ?yz= 5 绘出六面体单元各面上的应力分量 问题2 计算上题中法线为（1／?3，1／?3，1／?3）面上的正应力和剪应力。 张量 Tensor Let {M} represent a matrix which performs a coordinate transformation from one corrdinate system to another. For example any vector v in the original coordinate system becomes a vector v in the new coordinate system, where v = {M} v. A tensor T must transform according to T = {M} T {M}-1 where {M}-1 is the inverse of matrix M. (Mechanics: An Action Approach, 1993 by R.L Hawkes, Mount Allison University). 矢量的坐标变换 坐标变换 坐标变换后应力张量分量的另一表示方法 分为四组 课堂练习：?x = 10 ?y = -5 ?xy = 5 坐标旋转，X’ 轴与X轴夹角为： 0，30，45，60，90，120，135，150，180，210，225，240，270，300，315，330，360度角时，求?x’, ?xy’ 各组代表在黑板上绘出结果 0,90,180,270,360,30,60,120,150,210,240,300,330,45,135,225,315 Angle 0o 30 45 60 90 120 135 150 180 ? 10 10.6 7.5 3.1 –5 -5.6 -2.5 1.9 10 ? 5 -4 -7.5 -9 -5 4 7.5 9 5 Angle 210o 225 240 270 300 315 330 360 ? 10.6 7.5 3.1 -5 -5.6 -2.5 1.9 10 ? -4 -7.5 -9 -5 4 7.5 9 5 Max: 26.5o 11 -3 161.5o 8.5 Min: 63.5o -6 3 71.5o -8.5 新坐标轴连续旋转时 ?＝－180?180新坐标下正应力和剪应力的变化 主应力 从主应力求任何面上的应力 二维情况下，已知最大主应力大小、最小主应力大小、以及主应力方向，就可以求过该点任意方向上(法线逆时针算与?1轴夹θ角)的应力矢量。 σn = σ1 cos2θ+ σ2 sin2θ τ= (σ2 - σ1)/2 sin 2θ 或 σn =(σ1 +σ2 )/2 +( σ1 -σ2)/2 cos 2θ τ = -(σ1 - σ2)/2 sin 2θ 三维情况下求主应力的大小和方向 应力的叠加 Mohr Circle 已知两个主应力大小作摩尔圆 法线与最大主应力夹角为?的面上，正应力和剪应力可由图中读出 已知应力张量分量作摩尔圆 使单元体顺时针旋转的剪应力为正 Mohr Circle Mohr Circle 3D 作业:从应力张量求平