2013-2014学年高中数学苏教版必修2同步辅导与检测：1.2.3直线与平面的位置关系.ppt

证明：连接AC交BD于点O，如右图． ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AO＝OC. 连接OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线， ∴PC∥OQ. ∵PC在平面BDQ外，但OQ?平面BDQ， ∴PC∥平面BDQ. 直线与平面平行的性质定理 过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1. 分析：本题是考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，同时考查了同学们的空间想象能力，综合推理能力等． 证明：如右图所示， ∵CC1∥BB1， ∴CC1∥平面BEE1B1(直线和平面平行的判定定理)． 又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1， ∴CC1∥EE1(直线和平面平行的性质定理)． 由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1. 方法点拨：(1)本题应用了两个定理和一个公理，是对所学知识的一个初步综合，利用线面平行的判定定理和性质定理，完成了平面问题和空间问题的相互转化． (2)利用线面平行的性质定理解题的步骤：①确定(或寻找)一条直线平行一个平面；②确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；③确定交线；④由定理得出结论． 变式训练 3．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 证明：如右图，连接AC交BD于O，连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点， ∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理，则PA∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH. 直线与平面垂直的概念 过一点与已知直线垂直的平面只有一个． 已知：点A和直线a.(如下图) 求证：过点A和直线a垂直的平面只有一个． 分析：必须证明存在性和唯一性． 证明：不论点A是否在直线a上(如上图)，设过点A与直线a垂直的平面为α.如果还有一个平面β过点A且与直线a垂直，且α∩β＝l.设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ＝b，β∩γ＝c. ∵a⊥α，a⊥β，∴a⊥b，a⊥c. 这样在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的．所以，过点A和直线 a垂直的平面只有一个． 规律总结：(1)由直线与平面垂直的定义可知，“若直线a⊥平面α，则a垂直于α内任一条直线”，它也可作为定理来运用． (2)本例的结论以及课本上例题的结论“过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条”都可作为定理来运用． (3)反证法是证明唯一性问题的有效方法． 变式训练 4．给出以下结论： ①若直线a垂直平面α内的无穷多条直线，则直线a垂直平面α；②无论直线a与平面α是否垂直，a总垂直平面α内的无穷多条直线；③若直线a垂直平面α内的两条直线，则直线a垂直平面α；④若直线a垂直平面α内的所有直线，则直线a垂直平面α. 其中正确的结论为________(写出序号即可)． 解析：①是错的，如果这无数条直线都是互相平行的，即使直线a垂直于这些直线，直线a也不一定垂直平面α，可能是斜交；③也是错的，也可能是与①一样的情形． 答案：②④ 直线与平面垂直的判定定理 如右图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD. 分析：若证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可． 证明：取AB中点F，连CF、DF， ∵AC＝BC，∴CF⊥AB. 又∵AD＝BD，∴DF⊥AB， ∴AB⊥平面CDE， ∴AB⊥CD. 又BE⊥CD，且AB∩BE＝B， 根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE.∴CD⊥AH. 而AH⊥BE，∵BE∩CD＝E∴AH⊥平面BCD. 方法点拨：利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的程序是：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论． 变式训练 5．如右图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心． 求证：PH⊥平面ABC. 证明：∵H是△ABC的垂心， ∴AH⊥BC. ∵AP⊥PB，AP⊥PC，且PB∩PC＝P， ∴AP⊥平面PBC. 又BC?平面PBC，∴AP⊥BC，AP∩AH＝A. ∴BC⊥平面APH，∴BC⊥PH. 同理，AB⊥PH.又AB∩BC＝B. ∴PH⊥平面ABC. 直线与平面垂直的性质定理 设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)． (