[数学]高中必修5经典数列经典例题.doc

数列经典综合题 等差数列与等比数列综合题 例1 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求 解：（Ⅰ）依题意有 由于 ，故 又，从而 （Ⅱ）由已知可得 故 从而 例2 在正项数列中,令. （Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求； （Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列； （Ⅰ）解：由题意得,,所以= （Ⅱ）证:令,,则=1 所以=（1）, =（2）, （2）—（1）,得—=, 化简得（3） （4）,（4）—（3）得 在（3）中令,得,从而为等差数列 例3 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列. （1）求q的值； （2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am ∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0， ∴2q2 = q +1，解得q = 1或. （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 ∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1 若q =，Sm + 1 = Sm + Sm+1 = = ∴2 Sm+2 = S m + Sm+1 故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列； 当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 例4 已知数列｛an｝的首项（a是常数），（）．（Ⅰ）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅱ）设，（），为数列的前n项和，且 　　　是等比数列，求实数a、b满足的条件． 解：（Ⅰ）∵ ∴　　　　 　 　 　若是等差数列，则　但由，得a=0,矛盾. 　∴不可能是等差数列 (Ⅱ)∵ ∴(n≥2) 　　∴ 当a≠－1时, 从第2项起是以2为公比的等比数列 ∴ n≥2时, ∴是等比数列, ∴(n≥2)是常数 ∵a≠-1时, ∴b-2a-2=0 当a=-1时， （n≥3）,得（n≥2） ∴ ∵是等比数列 ∴b≠0 综上, 是等比数列,实数a、b所满足的条件为 例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn. (Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2 ∴a1=1 ∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an ∵an≠0 ∴(n∈N*) 所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*) (Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…) ∴bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1 b3-b2= b4-b3=()2 …… bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…) 将这n-1个等式相加，得 bn-b1=1+ 又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…) (Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1 ∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ① 而 Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)] ② ①-②得： Tn= =8-(8+4n)(n=1，2，3，…) 例6 已知数列中，，且对时 有（）设数列满足为等比数列数列的通项公式；（），求数列的（） 证明：由条件得． 即，，． 所以是首项为2，公比为2的等比数列．，所以． 两边同除以，可得为以首项，为公差的等差数列．，令，则而． ， ∴． 令Tn＝， ① 则2Tn＝． ② ①－②，得Tn＝，Tn＝． ∴． 例7 设数列满足且 （Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列； （Ⅱ）求数列和的通项公式； （Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．，其中为常数，若为等比数列，则存在使得 ．．． 由及已知递推式可求得，代入上式后得方程组 消去解得． 下面验证当时为等比数列． ， ，从而是公比为的等比数列． 同理可知是公比为的等比数列，于是为所求． （Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得 ，．（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为；