北京交通大学微积分期中考试试卷答案.doc

北 交 通 大 学2007 -2008 学年第学期考试试卷 姓 名 学 号 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 满分 30 12 14 8 9 8 9 10 100 一、填空题（每空3分，共30分） 设，则 0 。 已知，则常数，。 当时，与是同阶无穷小，则 2 。 函数的间断点为 -1 。 设函数在上连续，则 2 。 设存在，则。 设函数由方程确定，则。 已知函数具有任意阶导数，且，则当时， 。 曲线在对应于的点处的切线方程为。 二、计算下列各题 (每题6分，共12分 ) 解：原式 2．设，求常数使在处连续；并讨论此时在处是否可导。若可导，求出 解：因为，故令，函数在处连续。 2分 又 故当时在处可导， 4分 且 6分 三、计算下列各题（共14分） 1. （6分）设，求 解：因为 2分 所以 6分 2. （8分）函数在的邻域内具有二阶导数，且， 求 解：因为原式 4分 所以必须，6分 即 8分 四。（8分）设函数在区间上满足拉格朗日中值定理的“中值”为，求 解：因为 即，解出， 4分 6分 所以 8分 五、（9分）证明：当时，不等式成立。 证：设 2分 4分 其中 显然 故当时，单调增加，从而。 7分 于是，即当时，单调增加，而。所以当时，，即。 9分 六、(8分 )曲线与直线相交于两点，是曲线弧上任一点。试确定的坐标，使它到直线的距离最大。 解：曲线与直线的交点坐标分别为，故直线的方程为。 2分 点的坐标为。故由点到直线的距离公式有 4分 令得 6分 ，即是最大值点， 所以点到直线的距离最大。 8分 七、(9分 )设在区间上具有二阶导数，，证明方程在区间内存在根。 证明：令， 2分 故。因为在区间上满足罗尔定理的条件，故存在使从而。 5分 对在区间上应用罗尔定理，故存在，使。 7分 而，所以有 ，即方程在区间内存在根。 9分 八、(10分 )讨论函数的性态，并作图。 解：定义域为，即， 1分 ，令得， 2分 ，令得。 3分 可知时，，故为极小值点。 4分 时，，时，。故为拐点。 5分 列表如下； 单减，凸 拐点 单减，凹 极小值 单增，凹 单减，凹 6分 为竖直渐近线； 7分 为水平渐近线。 8分 图略。10分 1 A