物理竞赛复赛试卷.doc

解答 一、参考解答： 1．表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即 （Ni为正整数） （1） 由可得，各单摆的摆长 （2） 依题意，，由此可得 （3） 　　　　　　（4） 因此，第个摆的摆长为 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 　　 （5） 2．评分标准：本题15分． 1小问11分．（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分． 2小问4分． 二、参考解答： 设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为，根据题意有 （1）．又根据质心的定义有 （2） 为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有 （3） 由（2）、（3）两式得 （4） 表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为，把(3)式写为，则同样可得到(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得 （5） （5）式就是行星质量所满足的方程． （6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得 （7）注意到，（6）和（7）代入 (8) 由（）式可知 由近似计算可得 （） 由于小于1/1000，开普勒第三定律 （）代入有关数据得 （1）评分标准：本题20分（1）式3分，（3）式4分（5）3分，（）式4分，（1）式4分． 三、参考解答： 解法一 一倾角为的如图1所示的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有 （1） 可得， （2） 设在所考察的时刻，螺旋绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为的小质元绕转轴转动速度 　　　　　　　（3） 对转轴的角动量 整个螺旋环对转轴的角动量 　　　　　　 （4） 小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为，则小球在水平面内作圆周运动的速度为 （5） 沿竖直方向的速度 （6） 对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统的角动量守恒，故有 （7） 由（4）、（5）、（7）三式得 　　 　　　　　　　（8） 在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有 （9） 由（3）、（5）、（6）式得 （10） 解（8）、（10）二式，并利用（2）式得 （11）