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第五节 一、无穷限反常积分的审敛法 定理2 . (比较审敛原理) 定理3. (比较审敛法 1) 例1. 判别反常积分 定理4. (极限审敛法1) 当 例2. 判别反常积分 定理5. 定义. 设反常积分 二、无界函数反常积分的审敛法 定理6. (比较审敛法 2) 定理7. (极限审敛法2) 例6. 判定椭圆积分 类似定理5, 有下列结论: 三、? 函数 2. 性质 (2) (4) 内容小结 * 二、无界函数反常积分的审敛法 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 ?函数 第五章 定理1. 若函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据极限收敛准则知 存在 , 且对充 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 不失一般性 , 因此 单调递增有上界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 已知 得下列比较审敛法. 极限存在 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 的敛散性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 的敛散性 . 提示: 当 x≥1 时, 利用 可知原积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当 2) 当 证: 根据极限定义 , 对取定的 当 x 充 分大时, 必有 , 即 满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可取 必有 即 注意: 此极限的大小刻画了 的敛散性 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例3. 判别反常积分 的敛散性 . 解: 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证： 则 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 绝对收敛 ; 则称 条件收敛 . 例4. 判断反常积分 的敛散性 . 解: 根据比 较审敛原理知 故由定理5知所 给积分收敛 (绝对收敛) . 无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如 因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来 . 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点 , 有 有 利用 有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) . 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当 2) 当 例5. 判别反常积分 解: 利用洛必达法则得 根据极限审敛法2 , 所给积分发散 . 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性 . 解: 由于 的敛 根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 判别反常积分 的敛散性 . 解: 称为绝对收敛 . 故对充分小 从而 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 . 则反常积分 1. 定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在 内收敛 . 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述 , (1) 递推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (分部积分) 注意到: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (3) 余元公式: (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得应用中常见的积分 这表明左端的积分可用 ? 函数来计算. 例如, * * * * *