信号与系统23－24.pptVIP

* 假设无重根，完全响应可分解为以下两部分： 零输入响应 零状态响应 如果把完全响应按自由响应与强迫响应去划分，则有： 自由响应 强迫响应 * 为便于比较，将以上分析写成如下形式： 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 其中： 例如：设系统方程如下，已知激励x(t)=e-3tu(t)，求零状态 响应y(t)。 解：⑴ 求方程的齐次通解。知道特征方程与特征根如下： 所以，齐次通解设为 ⑵ 求对应方程自由项的一个特解。设 代入原方程 所以 ⑶ 确定待定系数，求全解。 由零状态的条件 所以求得 于是求得系统的零状态响应 或表示为 * 例：给定以下电路，把 电路看作起始状态，分别 求 时 的零输入响应和零状态响应。 把 电路转换成电容和电感中的起始储能 和 画出带起始储能的电路： 解： * 其中 、 系统的微分方程 （1）零输入响应 * 令外加激励源 ，系统在 时刻的等效电路 由上图知系统满足微分方程： 和 状态的 及 的解。 * 由于没有外加电源，整个电路在电容和电感的起始储能 、 的作用下工作，即能量的释放过程。 因此求解 和 是根据 和 来求得的。为此画出电路在 时刻的初始值等效电路： * 电容相当于短路，电感相当于开路？ 由图求得： * 用 和 代入上式求得： 零输入响应的形式： 零输入响应为： * （2）零状态响应 此时电路图为 满足微分方程 及起始状态 和 的解 * 特解： 当 时， 方程右端的自由项为 令特解 ，代入方程得 零状态响应的形式 其中 和 由 和 来确定 * 把 代入方程右端得自由项 利用冲激函数匹配法，方程右端的冲激函数项最高阶是 ，因而有 代入原方程 * 代入零状态响应的表示式 * 自由响应 强迫响应 系统的零状态响应为 通过以上分析，系统响应的分解可表示为 * 零输入响应 零状态响应 瞬态响应 稳态响应 * 连续系统的完全响应，可以将它们分解为零输入响应和零状态响应两部分。也可以分解为齐次解和特解两部分。其中，齐次解的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。应注意，齐次解的系数值是与输入函数有关的。特解的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称为系统的强迫响应。 说明 * 虽然零输入响应和自由响应都是系统齐次微分方程的解，其函数形式也相同，但两者的系数是不一样的。前者采用 条件确定，系数值仅取决于系统的起始状态，其结果代表零输入响应；后者采用 条件确定，系数值由初始状态和输入信号共同确定，结果中除包含零输入响应外，还包括零状态响应的一部分。 * 如果输入激励是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为暂态响应和稳态响应。完全响应中暂时存在的分量称为暂态响应，随着时间的增长，它最终将衰减为零；响应中剩余部分称为稳态响应，通常也由阶跃信号或周期信号组成。 * 系统的响应类型 (1) 自由响应：也叫固有响应，由系统本身特性决 定的，和外加激励形式无关。对应 于齐次解。 强迫响应: 形式取决于外加激励。对应于特解。 (2) 暂态响应：是指激励信号接入一段时间内，完 全响应中暂时出现的有关成分，随 着时间 增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即