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则 因为，根据傅里叶系数的公式---分解式 所以 作变量代换：-t→τ，dt →- dτ 同样的方法可以证明 4、奇偶、虚实性： 设 当 x(t)是实函数，即 则有 即 x(t)是实偶函数，即 则有 所以 x(t)是实奇函数，即 则有 所以 七、帕塞瓦尔（Parseval）定理 帕塞瓦尔定理说明，傅里叶级数展开是一个正交展开。 展开后级数的平均功率，等于原信号的平均功率。 八、 傅里叶有限级数与最小均方误差 ★如果完全逼近，则n=∞ ; ★实际中n=N, N是有限整数。 ★如果N愈接近∞ ，则其方均误差愈小 ★若用前2N＋1项逼近，则 误差函数： 方均误差： 以对称方波为例，说明取不同的项数时有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的误差。 从图中看出，对称方波为偶函数、奇谐函数，只有奇次谐波的余弦项。 结论： ▼N越大，越接近方波 ▼信号的高频分量，主要影响跳变沿； ▼信号的低频分量，主要影响顶部； ▼任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波 形将会失真 ▼有吉布斯现象发生。 信号与系统 SignalsSystems 第三章 连续时间信号与系统的傅里叶分析 §3-1 周期信号的频谱分析 §3-2 典型周期信号的傅立叶级数 §3-3 非周期信号的频谱分析---傅里叶变换 §3-4 典型非周期信号的傅里叶变换 §3-5 傅里叶变换的性质 §3-6 LTI系统的傅里叶分析 §3-7 周期信号的傅里叶变换 §3-8 抽样信号的傅里叶变换与抽样定理 * 第3章 傅里叶变换 引 言 时域分析 变换域分析 傅里叶分析的历史： 1882年，法国数学家傅里叶（Fourier）发表“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理 * 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为 谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点 * 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）：应用到电学中 19世纪末，用于工程实际的电容器出现 20世纪，谐振电路、滤波器、正弦振荡器 20世纪70年代以来，快速傅里叶变换（FFT） 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 §3-2 周期信号的频谱分析 一、 ejΩt作用于系统响应 由第二章知道，在ejΩt作用于单位冲激响应为h(t)的系统时，其零状态响应 即在ejΩt作用下，系统的响应仍然是ejΩt，只是乘上了一个与时间无关的系数：H(jΩ)。若能将任意信号均分解成不同角频率的复指数信号ejΩt的叠加，任意信号作用于系统的响应就容易求解了。 二、 连续时间周期信号 连续时间周期信号是在整个时间域里，满足以下函数关系的信号 上式中时间量T，是满足此关系的最小正实数，称作信号的周期。周期信号的波形是呈周期变化的，单位时间变化的次数，称作信号变化的频率，记为：f，单位为每秒次或Hz(赫兹)。它与周期的关系 今后我们常用角频率，记为：Ω，单位为rad/s，读作弧度每秒。它与频率的关系是 三、周期信号展开为三角函数式的傅里叶级数 高等数学中学过，周期信号x(t)当满足狄利赫里条件，即在一个周期中： ⑴ 只有有限个一类间断点； ⑵ 只有有限个极值点，或称有限次振荡； ⑶ 绝对可积 于是，信号可展开为以下傅里叶级数 式中k是正整数，信号周期对应的角频率用Ω1。信号的傅里叶系数 ---信号在一周期的平均分量，即 直流分量。 令 以上傅里叶级数展开式可写成 于是有 上式说明，连续时间周期信号可以由其平均分量和不同角频率的余弦信号叠加而成。余弦信号的角频率kΩ1，只可能取信号角频率Ω1的整数倍，称这种特性为谐波性。 k=0 对应的分量：c0=a0，称为直流分量，或平均分量； k=1 对应分量称为基波分量：c1cos(Ω1t+φ1)，信号的 角频率Ω1称为基波角频率； k≥2 对应分量称为k次谐波分量： ckcos(kΩ1t+φk) 。 四、周期信号的频谱与频谱图 将以上展开式中各分量的振幅ck和初始相位φk为函数，以角频率kΩ1为自变量，这两个函数就是信号x(t)的振幅频谱和相位频谱。对应函数的波形图，即是信号的频谱图。 例如：周期性矩形脉冲波形如下。