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主讲人：郭银景 山东科技大学精品课程 信号与系统 SignalsSystems 冲激响应 的定义： 系统在单位冲激信号 的激励下产生的零状态响应。 系统 冲激响应与阶跃响应 阶跃响应 的定义： 系统在单位阶跃信号 的激励下产生的零状态响应。 系统 任意信号可用冲激信号的组合表示，即 作用到冲激响应为 的　　，则系统的响应为 卷积积分 由于　　是在零状态下定义的，因而上式表示的响应是系统的零状态响应： 零状态系统 单位冲激响应h(t)是系统在零状态时，由单位冲激作用之下产生的输出响应。因此，它是一个零状态响应。 但是，单位冲激信号δ(t)仅在t=0时刻不等于0，当t0时δ(t)=0，因此系统在t0时的响应是零输入响应的形式。 因此，在时域求解的情况下，hp(t)与t=0+时条件的确定成了h(t)求解的关键。 1、卷积积分的运算 卷积积分运算有两点要注意：积分限的确定和结果函数的定义区间。 由信号的冲激分解我们知道，一连续时间信号可表示为： 卷积 对于任意两个信号 和 ，两者卷积运算定义为： 2、借助作图做卷积积分 借助作被积函数的波形图做卷积积分，比较容易确定积分的上下限和结果函数的定义区间，特别是参加卷积的函数是分段连续的时候。 借助作图求卷积积分的的步骤可归纳为： ⑴ 将参加卷积积分的两信号的自变量t→τ; ⑵ 将其中一个信号反褶，h(τ) →h(-τ)； ⑶ 将反褶的信号平移，h(t-τ)； ⑷ 求x(τ)与平移信号h(t-τ)的乘积； ⑸ 求x(τ)h(t-τ)的定积分。 §2-7 卷积的性质---LTI系统的性质 卷积可以看成是LTI系统求零状态响应得到的一种运算，它的性质反映了LTI系统的性质。 一、代数性质 此性质对于卷积积分和卷积和均存在。 1、交换律 如： 作变量代换：t-τ=λ，于是 τ=t-λ，dτ= -dλ。上式 由交换律，分配率还可表示为： 2、分配律 3、结合律 由交换律 二、卷积的微积分 1、微分 2、积分 3、信号与单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分 例如：已知 求： 解： 由上性质可知 或者 * 2.9 分配函数 一、分配函数 1．问题的引出（奇异函数的严格定义问题） ①狄拉克定义的不唯一性：如 ② 表现形式已超出普通函数的概念，只能作为 “分配函数”或“广义函数”来研究。 * 3． 的各种运算 证明： ②相乘： 证明： ①相加： * ③反褶： 证明： ④尺度： ( 证明： 当 时 当 时 ) ∴ 令 * ⑤时移： 证明：∵ ∴ ⑥卷积 证明： 故： i) * ii) iii) iv) ⑥卷积 * 证明： 在 附近 故： ⑦复合函数： (设 有n个互不相等的实根 且 ) * [例3]： 解：由于零点 处 零点 处 故： * ⑧积分： 满足 ⑨微分： 证明： 故 ，即：u(t)也可看作广义函数， 以 它赋给 值。 故： 为指定给 以 同理： 值的广义函数。 * 三、冲激偶函数 1．奇函数： 证明： 故： 2．相乘： 证明： * 3．尺度： 证明： 4．卷积 ② ① 主讲人：郭银景 山东科技大学精品课程 信号与系统 SignalsSystems