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《自动控制原理》 ——根轨迹法 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn 第五章《根轨迹法》 5.1 根轨迹的定义与幅相条件 系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环特征方程的 根）在s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是：在已 知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某 一个或多个参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。 5.1.1 根轨迹的定义 例 设一系统 闭环传递函数 特征方程 特征方程的根： 第五章《根轨迹法》 若K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表 所谓根轨迹图，即以系统增益 K1为参变量，当K1由0→∞时， 系统闭环极点在s平面上变化 的轨迹。 根据此图可以分析参数变化 对系统特性的影响。 第五章《根轨迹法》 第五章《根轨迹法》 分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密 切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方 法绘制系统根轨迹图，显然是不适用的。我们 希望能有简便的图解方法，根据已知的开环传 递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需 要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的 关系。 5.1.2 根轨迹的幅相条件 闭环传递函数： 闭环特征方程： 或 由于 是复数，可以用向量表示，将其分成两个方程。 幅角条件： 幅值条件： 第五章《根轨迹法》 设 幅角条件： 幅值条件 或 第五章《根轨迹法》 凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭环的极点，即特征方 程的根。这些s值构成系统的根轨迹。关键在于找出这些s点。 实际中，通常在复平面中寻找满足幅角条件的s值来绘制根 轨迹曲线，用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值。 工程上定义： （1）当 0≤ K1 +∞时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。 （2）当 —∞ K1 ≤0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。 （3）当 —∞ K1 +∞时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。 5.1.3 绘制根轨迹的步骤： （1）寻找满足幅角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹； （2）根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K1值。 第五章《根轨迹法》 5.2 绘制根轨迹图的基本规则 以开环根迹增益K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则。 1. 根轨迹的起点和终点 起点（ ）： 起始于开环传递函数的极点； 终点（ ）：终止于开环传递函数的零点。包括m个 有限远的零点（简称有限零点）和(n-m) 个无限远的零点(简称无限零点)。 当 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终 点，即由开环的极点移向开环的零点。 起点： 因为 当 时， 说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系 统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹 的一个起点，所以共有n个起点。 终点： （1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点。 当 时， 我们把这m个零点称之为系统的有限零点。 （2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点。 当 时， 上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处 的零点称之为无限零点。 第五章《根轨迹法》 综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有限 零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨 迹的一个终点，所以共有n个终点。 2、根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环的极点数。 我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由 前面 的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所 有的根轨迹都是有头有尾 、有始有终。所以其分支数必等 于开环的极点数或系统的阶数。 第五章《根轨迹法》 3、根轨迹的对称性 根轨迹对称于实轴。 特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。 4、根轨