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《自动控制原理》 ——根轨迹法 (5-2) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn 第五章《根轨迹法》 6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点 分离点或会合点的必要条件： 式中 第五章《根轨迹法》 设 系统的开环传递函数 第五章《根轨迹法》 第五章《根轨迹法》 例: 设系统 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，故 舍去； s2代入，求得K＞0 。所以s2会合点。 检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。 一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点) 之间；则个分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开 环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不 存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。 第五章《根轨迹法》 四重分离点 复数分离点 第五章《根轨迹法》 另外两种表达形式： (1) 因为 令 , 即得到 第五章《根轨迹法》 仍以上例说明: 因为 令 求得 (2) 因为 即 其中 即 所以 仍以上例说明: 因为 消去分母 解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面 两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定 要检验，舍去K＜0所对应的值。 第五章《根轨迹法》 复杂情况用试探法。 在-2?-3之间存在一个分离点。 所以分离点的位置为 第五章《根轨迹法》 7、根轨迹的出射角与入射角 若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为 ，则 （各零点 到的向量幅角 之和） ?（其它各极点到 的向量幅角 之和） 若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为 ，则 (各极点到 的向量幅角 之和) ?(其它各零点到 的向量幅角 之和) 出射角(或入射角)是指根轨迹离 开复极点 (或终止复零点)处切线的 倾角。 在根轨迹曲线上取试验点s1，与 复极点-pa的距离为 。 当 时，可近似地 认为s1在切线上，切线 的倾角就等于复极点的 出射角。 所以 的出射角: 8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。 介绍常用的三种方法。 (1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虚部、实部分别等于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助 方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。 (3) 利用试探法求取。先给出根轨迹的大致图形，根据经验 选择满足幅角条件的试探点求出 ，再利用幅值条件确 定交点处的K1值。 例 系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹图 解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j 开环零点：4个无限零点 (1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。 渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： (2) 实轴上的根轨迹：0 ? -3 (3)分离点： 利用试探法求得 (4)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分别 、 、 . 所以 同理不难求得极点-p4处的出射角： (5)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ： 实部方程： 虚部方程：