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第三节 例如, 等比级数 阿贝尔(1802 – 1829) 例2 备用题 * 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十一章 1.定义: 一、函数项级数的一般概念 2.收敛点与收敛域: 3.和函数: 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 有和函数 二、幂级数及其收敛性 1.定义: 2.收敛性: 幂级数一定存在收敛点。 证明 由(1)结论 挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开 拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数 C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群, 几何说明 发散区域 发散区域 收敛区域 这是幂级数收敛的特性. 说明： 收敛域 = + 收敛的端点 可能是 定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径. 问题 如何求幂级数的收敛半径? 注 利用该定理求收敛半径要求所有的 或只有有限个 证明 由比值审敛法, 定理证毕. 例1 求下列幂级数的收敛区间: 如缺项， 则 必不存在， 但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能 套用定理，可考虑直接用比值法或根值法 求收敛半径。 注： 的收敛半径 . 三、幂级数的运算 1.代数运算性质: (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 (3) 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 例如, 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 2.和函数的分析运算性质: (收敛半径不变) (收敛半径不变) 两边积分得 解 例4 求和函数 并求 的和.