湘教版永州市高考数学二轮复习数列数列通项与数列中的不等式课件.pptVIP

18《数列 数列通项与数列中的不等式》 一、基础知识 二、例析 * 2010届高考数学二轮 复习系列课件 1.不完全归纳法归纳通项. 2.数学归纳法证明与自然数n有有关的命题:第一步:验证初始状态,即“n=n0时命题成立”;第二步:假设推理,即“假设n=k(k≥n0)时命题成立，由此出发，推得n=k+1时命题也成立”. 3.均值不等式： 4.放缩法：注意放缩的度，不能太小或太大，实当即可. 5.函数的单调性. 解: (1) 由a1=2,an+1=an2-nan+1得: a1=2, a2=3, a3=4, a4=5, 由此猜想an=n+1 (n≥1). (2) ①用数学归纳法证明: Ⅰ)当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立. Ⅱ)假设当n=k时, 不等式成立,即ak≥k+2,那么 ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-K)+1 ≥k+3, 也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2. 由Ⅰ)和Ⅱ)得,对于所有n≥1,有an ≥n+2. 说明: 在证明(2)中的②时,注意到分母的特点,利用(2)中①的结果“对于所有n≥1,有an ≥n+2”,就能得到an-1 ≥n+1; 解： 说明: 1.数列{an}中第n项an,前n项和Sn,前n-1项和Sn-1之间的关系an=Sn-Sn-1在求通项公式中经常用到. 2.具有递推公式an=man-1+krn形式数列通项公的解法是要化成一个等比数列来求解(见第二轮复习数列-) 解： (Ⅱ)分析1:“作差法”是比较大小的基本方法，从已知条件看到，bn由an的平方根给出，故可用bn与 bn+1平方差的正负来比较bn 与bn+1的大小. 证明1: 分析2:均值不等式是证明不等式的基本工具.由 证明1: (Ⅰ)证明: (Ⅱ)证明: （用数学归纳法证明） （i）当n=1时,0a11,a1lna10, a2=f(a1)=a1-a1lna1a1, 由函数f(x)在区间(0,1) 上是增函数,且f(x)在x=1处连续,则函数f(x)在区间(0,1] 上是增函数, a2=f(a1)=a1-a1lna1a1(1-lna1),即a1a21. （ⅱ）假设当 x=k,(k∈N*)时,akak+1成立,即0a1≤akak+11 那么当n=k+1时，由f(x)在区间(0,1]是增函数, 0a1≤akak+11得 ak+1ak+21,也就是说当n=k+1时,anan+11也成立. 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n, anan+11恒成立. (Ⅲ)证明: 评析: 1.在(Ⅱ)的证明中,要注意当0a1a21时,-lna1-lna20. 2.在(Ⅱ)的证明中,要注意第二步的由ak到ak+1递推的推理特点. 3.在(Ⅲ)的证明中,要注意“循环叠代方法”的运用,也就是: 4.在(Ⅲ)的证明中,要注意“放缩变换”的灵活运用. 如由