1.8一阶微分方程应用举例.doc

教案 教研室： 教师姓名： 授课时间: 课程名称 常微分方程 授课专业和班级 授课内容 1.8一阶微分方程应用举例 授课学时 2学时 教学目的 一阶微分方程的应用 教学重点 一阶微分方程的应用 教学难点 一阶微分方程的应用 教具和媒体使用 板 书 教学方法 讲授法 教 学 过 程 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 时间分配(90分钟) 复习旧课 引入新课 重难点讲授 1.8一阶微分方程应用举例 1.8.1? 等角轨线 1.8.2 动力学问题 1.8.3流体混合问题 作业与习题布置 板 书 设 计 1.8一阶微分方程应用举例 1.8.1? 等角轨线 1.8.2 动力学问题 1.8.3流体混合问题 讲授新 拓展内容 课后总结 教研室主任签字 年 月 日 讲 稿  讲　　授　　内　　容 备注 一、复习旧课 一阶微分方程求解方法 二、重难点讲授 1.8一阶微分方程应用举例 一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤： 建立方程　对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程和相应初值条件 求解方程 分析问题 通过已求得的解的性质，分析实际问题.　　1.8.1? 等角轨线　　我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线称为己知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线.等角轨线在其它很多学科(如天文、气象等)中都有应用.下面就来介绍求等角轨线的方法.　　首先把问题进一步提明确一些． ?? 　　设在(x, y)平面上，给定一个单参数曲线族(C)：.求这样的曲线 ，使得 l与(C’) 中每一条曲线的交角都是定角 (图1-3) 　图1-3　　设l 的方程为.为了求，我们先来求出所应 满足的微分方程，也就是要先求得 的关系式.条件告诉我们l与(C’) 的曲线相交成定角 ，于是，可以想见，y1 和y1’ 必然应当与 (C’)中的曲线 y=y(x)及其切线的斜率y’ 有一个关系. 事实上，当时，有或　(1.81) 当时，有 (1.82)　　又因为在交点处，,于是，如果我们能求得 的关系，即曲线族(C) 所满足的微分方程 (1.8) 只要把y=y1 和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得x,y1.y1’ 所应满足的方程了.　　如何求 (1.8)呢? 采用分析法.　　设 y=y(x) 为(C’ ) 中任一条曲线，于是存在相应的C，使得 因为要求x,y,y’ 的关系，将上式对x求导数，得　　　　　　 (1.84)　　这样，将上两式联立，即由? 　　　 　　　?　　(1.85) 消去C，就得到 x,y(x),y’(x)所应当满足的关系 这个关系称为曲线族(C’) 的微分方程. 于是，等角轨线( )的微分方程就是 　　　(1.86)而正交轨线的微分方程为　　　　　　???　(1.87)　　为了避免符号的烦琐，以上两个方程可以不用 y_1，而仍用y ，只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.　　为了求得等角轨线或正交轨线，我们只需求解上述两个方程即可. ?例1　求直线束y=Cx 的等角轨线和正交轨线.　　解　首先求直线族y=Cx 的微分方程.　　将 对求x导,得y’=c ，由 消去C，就得到 y=Cx的微分方程　　　　　　　　　　　　　　　 　　当时，由(1.86)知道，等角轨线的微分方程为或及 即 积分后得到 或。 如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线 (图1-4). 　　　 如果，由(1.87)可知，正交轨线的微分方程为 即或　　　　　　　　　　　 　　故正交轨线为同心圆族 如(图1-5). ??? 　　　　　　　　　 ???　　　　　　　　　 图 1-5 1.8.2 动力学问题 前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律f=ma,这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数. 列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移及对时间的导数——速度的关系. 只要找到这个关系，就可以由f=ma列出微分方程了.　　在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解条件，如初值条件等.　　例2　物体由高空下落，