对“差比型”数列求和方法的再思考.doc

对“差比型”数列求和问题解法的再思考 版项和公式 的过程中运用了的“错位相减法”，随后在课本第61页的习题中给出了这类求和问题的习题……。 已知数列满足其中为公差不为公比不等于1的等比数列，我们可以把简称为“差比型”数列。求这类数列前项和时通常在和式的两边都乘以（或除以）如山东文科高考题： 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ）求数列{an}通项公式； ）{ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和. 参考：）设数列的公比为，由题意知, . 又， 解得，所以. ）知 又,所以. 令 因此 , 又, 两式相减得 所以. 这个问题时和上述参考答案一样这个方法优点是的求解模式清晰是计算量大，一不小心就会出现计算失分。只要深入思考不难发现“差比型”数列求和问题的方法，非“法”的。大家介绍两种方法的通项公式为，其中数列是公差不为是公比不为1的等比数列，则数列也是“差比型”数列。 这个结论很容易证明。我们不妨设等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为， 则 = 令，显然数列是以为首项，以为公差的等差数列。于是，故数列也是“差比型”数列。 再看结论2：若数列的通项公式为其中数列是公差为（）是公比为（）的等比数列，则存在一等差数列使，其中等差数列的首项和公差分别为、。我把它称为裂项公式。 利用结论2，很容易地得到前项和公式 …+ =+…+ = 下面，根据上述我们给出高考文科的第二种： 解：） 略）） 易得.即 = 所以. 的解题过程中利用“相消法”解决差比数列的问题简洁，的实质深入了解数列之间的联系基础上利用转化思想，知识的内，是学生探索能力、创新能力的重要体现。下面的解法也能说明这一点。 3：若数列的通项公式为，其前和为是公差为()的等差数列，数列是公比为（）的等比数列，则存在一等差数列使为一个常数列结论的首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，则 可设 ，整理后比较可解出值，级得到常数列其中结论，我们给出高考文科的第种： 解：部分上，略，可得① 设, 即② 比较①②式可得 所以数列为常数列。 所以. 高中数学课程标准指出学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿练习，高中数学课程还应自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学的方式。这些有助于发挥学生学习的主动性，是学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。数列这一的中，以、等比特殊的数列为基础，考察转化为等差等比特殊数列的知识，是培养学生自主探索、动手实践、精神的很好的课题 参考文献： 1普通课程标准）M].人民教育出版社，2.徐学军.从错位相减法到裂项相消法[J].数学教学，） .普通高中课程标准实验教科书数学）教育出版社 跟踪练习： 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，. （）求和的通项公式； （）求数列的前n项和. 【考点】1.等差，等比数列；2.”数列求和. 【点拨】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)“差比型”数列的求和问题，可以使用本文提供三种方法，一下每一种方法的优点。 【】（）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的公比为，建立方程求解；（）先求的通项，再求 ，利用相减法求和. （）解：设数列的前项和为，由，有 ， ， 上述两式相减，得 . 得. 所以，数列的前项和为. 【】（）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的公比为，建立方程求解；（）先求的通项，再求 ，利用合适方法求和. （）解：设数列的前项和为，由①， ②， 由①、②可得 所以为常数列，当得. 所以，数列的前项和为. 5