数学实验 课程设计.doc

安徽工业大学 大学数学实验课程设计 姓名： 班级： 任课老师： 数学实验 课程设计 问题提出： 某容器盛满水后，低端直径为的小孔开启（图）。根据水力学知识，当水面高度h时，水冲小孔中流出的速度 (g为重力加速度，0.6为孔口的收缩系数)。 ⑴若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底面直径均为1.2m，小孔直径为3cm，问水从小孔中流完需要多长时间；2min水面高度是多少。 ⑵若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高为1.2m，小孔直径为3cm，有低端（记作x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面的高度是多少。 图1 ： 图2： 表： x/m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 D/m 0.03 0.05 0.08 0.14 0.19 0.33 0.45 0.68 0.98 0.10 1.20 1.13 1.00 问题分析： 倒圆锥形容器流水问题中随时间t液面高度h也在变化，同时水的流速也在变化，再写变化难以用普通的方程进行模拟求解，考虑建立常微分方程竟而代入数值求解。水面的直径等于液面的高度。可以建立容器中水流失的液面高度对时间t的变化率。 假设t时，液面的高度h，此时水的流速流量Q为： ； 则在时间内液面下降高度为，可得到关系式：； 由此可知水下降时需要的时间：； 根据此关系式知道。 在第二问中，考虑倒葫芦形容器时因为他的高度h不同容器直径D变化没有规律可循，同第一题相比我们只知道他的一些数值，这就需要我们建立高度h和容器直径D之间的关系矩阵，然后再欧拉方程和龙格—库塔方法找出时间t和液面高度之间的分量关系。 由（1）可同理推知：假设在时间t时，液面高度为h，此时流量为；经过时，液面下降，若我们取的t是在t(n)和t(n+1)之间的某一时刻，于是就可在误差范围内得到；可以得到 ； 建立模型： 在试验中我们不考虑圆锥的缺省对流水的影响，以及其他外界因素和玻璃的毛细作用，试验中水可以顺利流完。实验中重力加速度g=9.8；倒圆锥的液面最初高度为H=1.2m，液面直径D=1.2m=0.03，小孔的直径为=0.03m； 接上文中分析结论代入数据：即在T时间内将1.2m的液面高度放完， （matlab不支持一些运算符号，故用matlab运算格式） dt=-((pi/4)h^2*dh)/(0.6*(pi/4)*d^2*sqrt(gh))=-(h^1.5*dh)/(0.6*d^2*sqrt(g)) h是由0→1.2m对t积分 用matlab计算上式 编辑文件：a1.m， d0=0.03; g=9.8; syms h t=(h^1.5)/(0.6*d0^2*sqrt(g)); T=int(t,0,1.2); eval(T) 运行结果： a1 ans = 373.2556 结果：水从倒圆锥中流完需要373.26s； 2mine之后液面的高度为h1; 373.26-120= h1^2.5/(1.5*d^2*(g)^0.5)=153.26 可知h1=((1.5*d^2*sqrt(g))*153.26)^(2/5); Malab计算 g=9.8 g = 9.8000 d0=0.03 d0 = 0.0300 h1=((1.5*d0^2*sqrt(g))*153.26)^(2/5) h1 = 0.8405 即2mine之后液面的高度为0.84m； 上述运行结果可知：谁需要373.26s流完，2mine之后液面高度为0.84m； 在与（1）同样的条件下，倒葫芦形容器的液面最初高度H=1.2m，小孔的直径为d0=0.03m，液面直径和液面高度关系如表。在分析中已经讨论出Δt和Δh的关系。 dt=t(k+1)-t(k)=-((pi/4)h^2*dh)/( 0.6(pi/4)d^2*sqrt(gh))=-(h^1.5*dh)/(0.6d^2*sqrt(g)) k1=0.15*sqrt(g*(x(n)))*d^2/(-43.6359*x(n)^8+213.0457*x(n)^7-414.873*x(n)^6+410.2075*x(n)^5-218.8936*x(n)^4+62.553*x(n)^3-8.3215*x(n)^2+0.49619*x(n)+.014892)^2; k2=0.15*sqrt(g*(x(n))-h*k1)*d^2/(-43.6359*(x(n)-h*k1)^8+213.0457*(x(n)-h*k1)^7-414.873*(x(n)-h*k1)^6+410.2075*(x(n)-h*k1)^5-2