现代材料加工力学-第七章.ppt

7.1 概述 塑性变形的数值解：工程法→滑移线法→能量法（上限法、上限单元法）→有限元法（FEM）. 能量法是建立在极值原理的基础上。 极值原理：以虚功原理、最小势能原理等为基础的一种能量解析法，关键引入速度不连续（间断）线（面）。 7.2 上限定理及上限功率 理论基础：理想刚塑性材料。 力学基础：虚功原理、最小势能原理。 应用：与下限定理联系分析，可确定精确解的范围。如图： 假设有受力体边界条件如图： 关键是求上限功率 基本方程 : （暂时将*去掉） 根据Levy－Mises流动法则 根据Mises塑性条件 7.3 Johnson 上限模式的应用 例1: 板条平面应变挤压(不考虑死区)如图所示,挤压前板厚B=挤压后板厚b(垂直于板面), 挤压比 。设变形区为一对刚性三角形单元(ΔABC)，AB、BC、CA均为速度不连续面。在AB面上: (光滑面无摩擦)。求单位面积上的平均压力p的上限解? 解:按照Johnson 上限模式，有 由几何关系可得: 由速度关系可得: 画出速端图 (上限解) 这种模式求解精度随单元格的细分而提高? 例如:当 时, 上限模式解 1对Δ 2对Δ 3对Δ 4对Δ 2.21 2.00 1.77 1.75 滑移线解为 1.71? 例2: 不对称板条挤压， B=b； 上方: λ1=3，流动速度快； 下方: λ2=2，流动速度慢? 求 速端图: 由JohnSon上限模式可得： 7.4 Avitzur上限模式 ——连续速度场模式 求解带侧鼓的平锤间压缩圆柱体的 不均匀变形问题 首先考虑均匀压缩 即：Vθ=0，Vr，Vz?0 由体积不变条件: * * 第七章 极值原理及应用 对于刚塑性体，真实的速度场可能是间断的。间断面是一薄层，在薄层两侧的切向速度发生间断，而法向速度连续。 例如：拉拔过程，如图： v1n=vrn（法向） v1t≠vrt（切向） △vt=│vrt-v1t│ Nf=∫SD k│△vt│ds(虚位移剪切功率) k─材料剪切强度 V1 V1n Vr V1t Vrt Vrn 精确解 上限解 下限解 满足：①运动学许可的速度场 ②体积不变条件 满足：①静力学许可的应力场 ②应力边界条件 虚功：真实应力在虚位移上（即运动学许可但实际并 未发生的位移）所做的功。 虚功原理：在外力作用下，在处于平衡状态的变形体 上，当给予该变形体一几何约束许可的微 小位移时，则外力在此虚位移上所做的总 虚功Ap必等于变形体内的内力在虚位移上 所做的总虚应变功Ad. S v速 度 面 速度Sv已知 面力P未知 速度不连续面 PS S T 力 面 外力Ti已知 速度Vi未知 Sv速度面 V=0 P=? ST力面 P=0 Vi=? Sv速度面 Vo=C P=?(可求） 由 S=Sv + ST 可得： ∫S Tiνi*ds = ∫vσijεij*dv+∫Sdτ│△vt│ds 等式左边指的是在整个边界上外力Ti在虚位移νi*上所做的功率，等式右边第一项指的是变形体的塑性应变虚功率，第二项指的是速度间断面上的虚位移剪切功率。 ∫ST Tiνi*ds+ ∫Sv Tiνi*ds = ∫vσijεij*dv+∫Sdτ│△vt│ds ∫v (σij*-σij)εij*dv