抛物线压轴题.doc

1． 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. 1． 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 解：（1）设切点A、B坐标分别为， ∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为 ， 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ∴ 同理有 ∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②当时，直线AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ① 设是方程①的两个不同的根， ∴ ② 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意， ∵N（1，3）是AB的中点， ∴ 又由N（1，3）在椭圆内，∴ ∴的取值范围是（12，+∞）. 直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0. （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0， 代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程③的两根， ∴ 于是由弦长公式可得 ④ 将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤ 同理可得 ⑥ ∵当时， 假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心. 点M到直线AB的距离为 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：） A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|， 即 ⑧ 由⑥式知，⑧式左边 由④和⑦知，⑧式右边 ∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ12, ∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 ③ 将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得 ⑤ 解③和⑤式可得 不妨设 ∴ 计算可得，∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD） 5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（ ） A． B． C． D． 答案　．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)． A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3解析　结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形．本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦． 答案　C 7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　) A. B．3 C. D. 解析 依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案　A 6．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直