训练5--导数的综合应用.doc

常考问题5　导数的综合应用 1．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C．(－∞，2] D．(－∞，2) 2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)图象，则f(－1)等于(　　)． A. B．－C. D．－或 3．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意xR，f(x)＋f′(x)1，则不等式ex·f(x)ex＋1的解集为 (　　)． A.B. C. D. 4．已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0ab，则必有 (　　)． A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)5．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)(　　)． A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值 6．(2013·温州模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 7．若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______． 8．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1[0,1]，存在x2[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是______． 9．(2013·安徽卷)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a0，区间I＝{x|f(x)0}． (1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值． 10．(2013·东北三校联考)已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点． (1)求a； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围． 11．(2013·新课标全国卷)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)0. (建议用时：60分钟)1．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C．(－∞，2] D．(－∞，2) 解析　f′(x)＝x2－4x，由f′(x)0，得x4或x0. f(x)在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，当x[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.答案　A 2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)图象，则f(－1)等于(　　)． A. B．－C. D．－或 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，则，排除．若图象不过原点，则f′(x)的图象为，此时a＝0，f(－1)＝；若图象过原点，则f′(x)的图象为，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a0，a＝－1，f(－1)＝－.答案　D 3．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意xR，f(x)＋f′(x)1，则不等式ex·f(x)ex＋1的解集为 (　　)． A.B. C. D. 解析　构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－exex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.答案　A 4．已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0ab，则必有 (　　)． A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a) 解析　因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，则函数在(0，＋∞)上单调递减．由于0ab，则≥，即af(b)≤bf(a)．答案　A 5．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)(　　)． A．有极大值，无极小