浦东暑假高中数学课外辅导班--对数函数习题精选精讲.doc

对数的运算性质 1．对数的运算性质： 如果 a 0 ， a ( 1， M 0 ，N 0， 那么（1）；（2）； （3）． 证明：（性质1）设，， 由对数的定义可得 ，， ∴， ∴， 即证得． 练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）； （2）注意有时必须逆向运算：如 ； （3）注意定义域： 是不成立的， 是不成立的； （4）当心记忆错误：，试举反例， ，试举反例。 2．例题分析： 例1．用，，表示下列各式： （1）； （2）． 解：（1） ； 例2．求下列各式的值： （1）； （2） ． 解：（1）原式==； （2）原式= 例3．计算：（1）lg1421g； （2）； （3）． 解：（1）解法一： ； 解法二：=； 说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。 （2）； （3）=． 例4．已知，，求的值。 分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。 解： ． 例5．已知，求． 解：（法一）由对数定义可知：． （法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴ ． （法三），∴，∴ ． 例6．（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示 ． 解：（1）∵，∴， ∴ log 3 4 ( log 3 6 = ． （2）∵， ∴， 又∵，∴=． 换底公式 1．换底公式： ( a 0 , a ( 1 ；) 证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴， 从而得： ， ∴ ． 说明：两个较为常用的推论： （1） ； （2） （、且均不为1）． 证明：（1） ；（2） ． 2．例题分析： 例1．计算：（1） ； （2）． 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = ． 例2．已知，，求（用 a, b 表示）． 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 例3．设 ，求证：． 证明：∵，∴ ， ∴ ． 例4．若，，求． 解：∵， ∴， 又∵ ，∴ ， ∴ ∴ ． 例5．计算：． 解：原式 ． 例6．若 ，求． 解：由题意可得：， ∴，∴． 对数函数 例1．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）． 分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。 解：（1）由0得，∴函数的定义域是； （2）由得，∴函数的定义域是； （3）由9-得-3，∴函数的定义域是． 说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。 例2．求函数和函数的反函数。 解：（1） ∴ ； （2） ∴ ． 例4．比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），. 解：（1）对数函数在上是增函数，于是； （2）对数函数在上是减函数，于是； （3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），，； （4），，． 解：（1）∵， ，∴； （2）∵， ，∴． （3）∵， ， ， ∴． （4）∵， ∴． 例6．已知，比较，的大小。 解：∵， ∴，当，时，得， ∴， ∴．当，时，得， ∴， ∴．当，时，得，， ∴，， ∴． 综上所述，，的大小关系为或或． 例7．求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）（且）． 解：（1）令，则， ∵， ∴，即函数值域为． （2）令，则， ∴， 即函数值域为． （3）令， 当时，， 即值域为， 当时，， 即值域为． 例8．判断函数的奇偶性。 解：∵恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。 例9．求函数的单调区间。 解：令在上递增，在上递减， 又∵， ∴或， 故在上递增，在上递减， 又∵为减函数， 所以，函数在上递增，在上递减。 说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。 例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。 解：令， ∵函数为减函数，∴在区间上递减，且满足，∴，解得，所以，的取值范围为． 对数函数 1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为(??? )． 　　（A） ?　（B） ?????