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相似三角形期终复习要点-整理篇
相似三角形期终复习要点(含例题、练习及答案)
一、知识要点:
1、相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形;
应注意:△ABC∽△与△∽△ABC的相似比互为倒数,当k=1时,两个三角形全等。
2、预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似,这是今后证明三角形相似的重要依据。
3、三角形相似的判定定理:
定理1:两角对应相等,两三角形相似;定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
定理3:三边对应成比例,两三角形相似。推论1:斜边和直角边对应成比例,两直角三角形相似;
推论2:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似;
4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。
二、典型例题:
(一)、求线段长或线段比
例1 雨后初晴,一学生在运动场上玩耍,从他前面2m远一块小积水处,他看到了旗杆的倒影,如果旗杆底端到积水处的距离为40 m,该生眼睛的高度是1.5 m,那么旗杆的高度是______.
例2 如图2所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,若AF: FD=1:3,则AE:EB=___________;若AF:FD=1:n(n0),则AE:EB=________.
(二)、求周长与面积或周长与面积比
14.(2014乐山)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1.
(1)求BD的长;
(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABCM的面积.
_______张.
11.如图,大正方形中有两个小正方形,如果它们的面积分别是S1、S2,那么S1、S2的大小关系是 ( )
A.S1S2 B.S1=S2
C.S1S2 D.不确定
例3 如图,已知:△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ//AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;
例4 如图3所示,在□ABCD中,E为DC边的中点,AE交BD于D.若S△DOE=9 cm2,则S△AOB等于( )
(A)18 cm2 (B)27 cm2 (C)36 cm2 (D)45 cm2
(三)、证明比例线段
例5 如图4所示,已知正方形ABCD中,O是AC与BD的交点,∠DAC的平分线AP于点P,∠BDC的平分线DQ交AC于点Q,求证:.
(四)、实际应用举例
12.小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图,小明边移动边观察,发现站在点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同,此时,小明测得自己落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8 m,CA=30 m(点A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7 m,请你帮小明求出楼高AB. (结果精确到0.1 m)
例6 如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,他发现教学楼后面有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷,经过了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们之间的距离为30 m,小张身高为1.6 m,小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有多少米?
三、易混淆概念
1、比例线段的相关概念
在四条线段中,如果的比等于的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说是的第四比例项,那么应得比例式为:.②a、d叫比例外项,b、c叫比例内项, a、c叫比例前项,b、d叫比例后项,d叫第四比例项,如果b=c,即 那么b叫做a、d的比例中项, 此时有。
黄金分割:把线段分成两条线段,且使是的比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段的黄金分割点,其中≈0.618.即 简记为:
注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形
2、比例的性质
合、分比性质:.
等比性质:如果,那么.
3、位似图形
(1) 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.
(2) 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
(3) 位似图形的对应边互相平行或共线.
(4) 顺次连结上述得到的关
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