《材料力学》课件11-1能量法.ppt

能量法Energy method  一 概述（General introduction） 二 功、能（应变能或变形能） * * 能量法: 固体力学中，把一个和功、能的概念有关的理论和方法 统称为能量法 同静力学方法平行的一种方法 恒力功: 1 功: 力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该 力对物体做了功 变形功: 在线弹性范围内 广义力 广义位移 轴向拉伸时外力做功 扭转时外力做功 弯曲时外力做功 统一表示为 2 能（应变能或变形能） 能是一种可对物体做功的本领 应变能密度：单位体积内积蓄的应变能 若微元各边分别为 若整个体积内 相同 根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 等于外力在物体变形过程中所做的功W。 图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。试计算轴在加载过程中所积蓄的应变能 。 例题 ? 利用应变能密度 三种方法 利用外力功 利用内力功 三 卡氏第一定理 为最后位移 的函数 卡氏第一定理 应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。 由于 改变了 ，外力功相应改变量为 图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。试计算轴两端的相对扭转角。 例题 ? 四 余功、余能及卡氏第二定理 与外力功 之和等于矩形面积 与余功相应的能称为余能 线弹性范围内外力功等于余功，能等于余能。 试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力 —应变曲线如图所示。 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为 于是两杆横截面上的应力为 由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为 由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得 余能密度为 例题 ? 卡氏第二定理 表明余能为一系列荷载 的函数 由于 改变了 ，外力余功相应改变量为 余能定理 杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。 在线弹性范围内 卡氏第二定理 线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。 试计算图示结构在荷载 作用下C点的竖向位移，结构中两杆的 长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图所示。 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为 于是两杆横截面上的应力为 由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为 由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得 余能密度为 例题 ? 试求简支梁Fp处的挠度，已知梁的抗弯刚度为EI。 本题也可用功能原理（实功原理）求解，但这种方法有它的局限性，即只能求解单个力作用时沿其方向的位移。 例题 ? 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求 （1）C端挠度 （2） C端转角 例题 ? 解： （1）C端挠度 支座反力分别为 内力为 AB段 BC段 总应变能为 由功能原理或 卡氏第二定理可得 *