文中优生培训材料6课时韦达定理.doc

文中优生培训材料：第六课时 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的． 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． １． ２．， ， 典例析解： 例1：已知方程，求当m为何值时，方程（1）有两个正根； （2）两根异号；（3）有一根为0。 例2：设一元二次方程的根满足下列条件，试求实数k的范围。 （1）两根均大于1；（2）一根大于1，另一根小于1。 例3：已知：、是方程的两根，求的值。 例4：已知：、是方程的两根，且，不解方程， 利用根与系数的关系求的值。 例5：设、是方程的两个实根，当?m为何值时， 有最小值？并求出最这个最小值。 例6：设m是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根、。（1）若，求m的值；（2）求的最大值。 例7：已知、、为实数，且，，求的最大值和最小值。 例8：已知且和是方程的解，和是方程 的解，求证：。 例9：若都是实数，且，证明：、、中必有一个大于。 阅读材料： 　例1： 已知a，b，c为实数，且满足条件：，求证a=b。，。　　根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为①　　由a，b为实数知此方程有实根。。　　∴，故c=0，从而a=b。　　说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值. 解：∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1, ∴ a、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根,即为方程x2+(c+d)x+cd-1=0的两个实根,∴ a+b=-(c+d),ab=cd-1. ∴ (a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2 =(cd-1)-(c+d)c+c2 =-1.毛 例3：已知关于x的方程满足，试求k的值。时，可知，所以，当时，易证得，为方程的二不同实根。　　，。　　于是，　　，。　　当时，方程为。　　解得或　　取，即能符合题意，故k的值为 练习题： 1. 已知关于的方程： (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、． 思路点拨 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手． 2.设、是方程的两个实数根，当m为何值时， 有最小值?并求出这个最小值． 3.设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3 4. 已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求()2004的值。 .已知的二实根，则_____________。 若 ，则_______________。 1