函数小结与系统复习.docx

第一节　函数及其表示考纲考纲传真　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用.考点梳理1．函数(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量．(2)函数的定义域、值域定义域：函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)函数的两个要素：定义域和对应法则．2．映射设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．学情自测1．(人教B版教材习题改编)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是一个函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．其中正确的有(　)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】　由函数的定义知①正确．∵满足f(x)＝＋的x不存在，∴②不正确．又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．【答案】　A2．下列函数中，与函数y＝x相同的是(　)A．y＝ B．y＝()2C．y＝lg 10x D．y＝2log2x【解析】　因为y＝＝x(x≠0)；y＝()2＝x(x≥0)；y＝lg 10x＝x(x∈R)；y＝2log2x＝x(x＞0)，故选C.【答案】　C3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为________．【解析】　列表如下：x0123y0－103由表知函数的值域为{0，－1,3}．【答案】　{0，－1,3}4．(2012·江西高考改编)设函数f(x)＝则f(f(3))＝________.【解析】　由题意知f(3)＝，f()＝()2＋1＝，∴f(f(3))＝f()＝.【答案】　5．(2012·广东高考)函数y＝的定义域为________．【解析】　要使函数有意义，需解得∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．【答案】　{x|x≥－1且x≠0}(见学生用书第10页)典例探究考向一：求函数的定义域例1.(1)(2013·大连模拟)求函数f(x)＝的定义域；(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(x)的定义域；【思路点拨】　(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可．(2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解．【尝试解答】　(1)要使该函数有意义，需要则有：解得：－3＜x＜0或2＜x＜3，所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)．(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，∴≤2x≤2，故f(x)的定义域为[，2]．【规律方法】1．题(2)中易理解错f(x)与f(2x)定义域之间的关系．2．(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍．(2)对抽象函数：①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式训练】 已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．【解析】　要使函数g(x)＝有意义，则必须有∴≤x＜1，故函数g(x)的定义域为[，1)．【答案】　[，1)考向二：求函数的解析式例2.(1)已知f(＋1)＝lg x，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；(3)已知f(x)＋2f()＝x(x≠0)，求f(x)．【审题视点】　(1)用换元法，令＋1＝t；(2)本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．(3)用代入，构造方程求解．【尝试解答】　(1)令t＝＋1，则x＝，∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg .(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2