满足协变性的机械能守恒定律的条件.doc

 Polytechnic U niversit y 1 9 9 7 年 8 月 Aug. 1 9 9 7 满足协变性的机械能守恒定律的条件 刘士元 ( 基础部) 摘 要 机械能守恒定律适用于惯性参照系 ,它应满足协变性的要求 。但是 ,一般来讲机械能守 恒定律并不满足这一要求 。讨论满足协变性的机械能并给出了守恒的充分必要条件 。 关键词 :惯性系统 ;协变性 ;哈密顿函数 ;拉格朗日函数 中图法分类 :O 301 1 满足协变性要求的条件 机械能守恒定律适用于惯性参照系 ,在某一惯性系中机械能守恒 ,但对于另一惯性系机械 能就不一定守恒了 。这是因为势能只决定于始末位置 ,于参照系的变换无关 ,而外力作功与参 照系的变换有关 ,也就是说 ,在某一惯性系中有 A 外 = 0 ,而在另一参照系中可能有 A 外 ≠0 ,这 样由系统的功能原理 A 外 + A 非保内 = E2 - E1 可见 ,一般来讲 ,在两个惯性系中机械能守恒定律不能同时满足 ,也就是说不满足协变性的要 求 。因此 ,研究在什么条件下机械能守恒定律才满足协变性的要求是非常必要的 。下面来比 较详细地讨论这一问题 。 由质点系的功能原理 = ΔE A 外 + 及 d E/ dt = 0 , E = 恒量 ,得 , = ( Ek - Ep ) - ( Ek0 + Ep0 ) A 非保内 dA 外 / d t + d A 非保内 / d t = 0 在惯性系 k′中动能增量为 ( m 1 v′1 2 / 2 + m 2 v′2 2 / 2) 两惯性系以速度 u 作相对运动 , 则有 - ( m 1 v′10 2 / 2 + m 2 v′20 2 / 2) → v′10 = 其代入式 ( 2) , 得 → → → v 10 - u , v′20 = → v 20 - → → → → → → → u , v′1 = v 1 - u , v′2 = v 2 - u . → → → → → → → → m 1 ( v 1 - u ) 2 / 2 + m 2 ( v 2 - u) 2 / 2 - m 1 ( v 10 - u) 2 / 2 - m 2 ( v 20 - u) 2 = → → → → → → m 1 ( v 2 - 2 v u + u 2) / 2 + m ( v 2 - 2 v u + u 2) / 2 - m ( v 2 - 2 v u + u 2) / 2 - m ( v 2 - 2 1 1 2 2 2 1 10 10 2 20 → → → → → ( m 1 v 2/ 2 + m v 2/ 2) - ( m v 2 / 2 + m v 2 / 2) + ( m v + m v ) - ( m v + m v ) ] u 1 2 2 1 10 2 20 1 10 2 20 1 1 2 2 见 , 若其与式 ( 1) 相等 ,则有 → [ ( m 1 v 10 + → v 20 ) → ( m 1 v 1 + → → m 2 - m 2 v 2 ) ] u = 0 → 于 u是任一常矢量 ,所以有 → ( m 1 v 10 + → v 20 ) → ( m 1 v 1 + → v 2 ) = 0 m 2 - m 2 正是在 k 系中的动量守恒 。因此系统在 k 系中满足动量守恒条件时 , 就有动 条件 , 因而 , 满足协变要求的机械能守恒的充要条件是 ∑Fi外 = 0 d A 外 / d t + d A 非保内 / d t = 0 s e H · q i 考虑到正则是方程 = e p i e H · p i = - eq i 有 d H e H e H e H e H e H e H ∑( eq e p eq e p ) et + H , H ] = 0 = + - d t et i i i i 即当满足 eH/ et = 0 时 , H 为一运动积分 ———广义的能量守恒. 由 H = ∑ eL q - L , 用广义坐 · k k eq k 标表示的动能表达式为 T = T 0 + T 1 + T 2 e→ e→ e→ e→ n s n s 1 ri ri ri ri · · T