漫谈高数和线性代数.doc

漫谈高数(一) 泰勒级数的物理意义 1 (二) 方程和矩阵的物理含义 5 (四) 特征向量物理意义 16 (五) 曲线积分的物理意义 20 (六) 芝诺悖论并未解决 24 (七) 正交和相关的物理意义 28 (八) 二次型和解析几何 30 (九) 线性代数的本质 33 (十) 国际象棋的车和象从数论到代数 36 (一) 泰勒级数的物理意义 ??????? 高等数学干吗要研究级数问题? [转载请标明本文CU blog出处]??????? 是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深? No，是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。??????? 提一个问题，99*99等于多少? 相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢? 问题更复杂了，(1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。但是因式分解仍然不够通用，因为我们总是需要通过观察特定的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学方法的全部: 特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办? 研究一种方之四海皆准的，通用的方法。??????? 泰勒级数的物理意义是什么? 就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和x轴有什么交点。例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义: 点+一次切线+2次切线+...+N次切线。每次切线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK，从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。泰勒级数，就是切线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶。假设f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有f1(x)=f(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+o(x-a)^2同理，假设f2(x)=f(x)-f(a)-f(x)(x-a)，两边求导,f2(x)=f(x)-f(x)-f(x)(x-a)=-f(a)(x-a)再求不定积分f2(x)=-(1/2)f(a)(x-a)^2+C，C就是那个高阶无穷小(需要证明)所以f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)^2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列，g(a)=f(a),g(a)=f(a),...g(a)=f(a)... ...就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。 ?? ? ?? 泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=x^100展开以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。??????? 还可以做什么呢? 对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。??????? 看到了吧，泰勒技术用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一种解决办法，高等数学之所以成为高等，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。??????? 那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢? 泰勒级数不行了，就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统到数理方程的求解。 ??????? 中学数学和高等数学最大的区别是什么? 中学数学研究的是定解问题，例如根号4等于2。高等数学研究什么呢它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5，但是实