点和刚体的基本运动.ppt

运 动 学 8 点和刚体的基本运动 8．1 点的直线运动 在研究点的运动时，首先要确定点在坐标系中的位置并表征点位置随时间变化的规律，进而研究在每一瞬间点的运动状态，如速度、加速度。 设有一动点M作直线运动，x随时间t变化的规律可表示为时间t的单值连续函数：x = f(t), 设从瞬时t到瞬时t + △t,点的位置从M改变到M”, 坐标由x改变到x + △x, 坐标增量△x为点在时间t内的位移 称为点在时间t内的平均速度,当t→0时,速度记为 直线运动中, 动点的加速度等于速度对于时间的一阶导数,也等于位置坐标函数对于时间的二阶导数, 它也是一个代数量, 正号表明速度的代数值随时间增加. 几个常见的物理学中的运动学公式: 【例题 8-1】一卡车沿直线道路运送货物,全程500m.设最高行驶速度5m/s,最大加速度0.5m/s2,走完全程至少需要多少时间. 解: 要使时间最少:第一阶段由停止开始,以最大加速度0.5m/s2加速至5m/s, 第二阶段以最大速度作匀速运动, 第三阶段以加速度-0.5m/s2至停止. 第一阶段: 第三阶段: 第二阶段: 8.2 点的运动的变矢量法 设动点作曲线运动,某瞬间t,动点的位置在M,从坐标原点O向动点作矢量OM=r,r就是动点对原点的矢径。矢径r是变矢量，是时间的单值连续函数：r = r(t),当△t→0时，比值△r/△t的极限表明在瞬间动点运动的快慢，称为动点在瞬间的速度： 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数,方向沿动点的运动轨迹切线，并指向动点前进的方向。 在曲线运动中，加速度包含速度的大小和方向两者的改变。 动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数，它是一个矢量。 8．3 点的运动的直角坐标表示法任意选取一直角坐标系，动点的位置可用坐标x,y,z来表示。点运动时,坐标随时间而改变，是时间的单值连续函数： 这就是直角坐标表示的运动方程。消去时间参数t，可得轨迹方程： ∴ r = xi + yj + zk 即:速度在各坐标轴上的投影等于相应的坐标对时间的一阶导数。 【例题 8-3】设物体以与水平面成φ角的初速度V0从O点抛出，方程为 求轨迹、速度和加速度、射程和射高 解：由方程可得： 【例题 8-4】、【例题 8-5】可以详细的讲解其中的一个. 8.4 点的运动的自然表示法 设动点沿轨迹曲线AB运动,在曲线上任取一点o为原点,规定正负方向，则动点的任意瞬间的位置可用弧坐标s=OM表示。这种确定位置的方法称为自然法,动点运动时,弧坐标S随时间t而变化,是时间的单值连续函数,表示为s = s(t)，这就是用自然法表示的运动方程。 8．4．1 动点的速度 设由瞬间t到瞬间t+△t,动点的位置由M改变到M’,在时间t内弧坐标的增量为△S＝MM′,而它的矢径增量为△r=MM′,由矢量微分法可知： 是一个矢量，其方向沿轨迹的切线并指向轨迹正向，于是得到速度的公式： 这表示速度的代数值等于弧坐标对时间的一阶导数 8．4．2 动点的加速度 以M 为原点，由τ,n,b引出的切线轴MT,主法线轴MN,副法线轴MB组成一正交坐标系，称为曲线过M点的自然轴系。 此式表明加速度在切线上的投影等于速度的代数值对时间的一阶导数，也等于弧坐标对时间的二阶导数；加速度在主法线上的投影等于速度大小的平方除以轨迹上动点所在处的曲率半径；加速度在副法线上的投影等于零。 切向加速度反映了动点速度代数值对时间的变化率。当ατ与v同号时，ατ与v的方向相同，动点作加速运动，否则，作减速运动。由ατ及αn可求出加速度的大小 【例题 8-6】半径为r的轮子可绕水平轴o转动，轮缘上绕已不能伸长的绳索，下端悬挂一重物A .设物体按x=0.5ct2的规律下落，其中c为常数，求轮缘上M的速度和加速度。 解:M点的轨迹显然是半径为r的圆周.由于绳不能伸长,弧长为弧坐标: M点的切向和法向加速度的大小分别为： 8．5 点的运动的极坐标表示方法(略讲) 8．6 刚体的平行移动和定轴转动8．6．1 刚体的平行移动 刚体运动时，如体内任一直线始终保持与其初始位置平行，则这种运动称为平行移动。 平动的刚体所有各点的运动都有相同的特点，可以按点的运动来分析。 8．6．2 刚体的定轴转动 如刚体上有一条直线在刚体运动中保持不动，这种运动称为定轴转动。 当刚体转动时，位置角以弧度计，随时间变化，是时间t的单值连续函数，表示为： 角速度等于位置角对时间的一阶导数，它的数值表明在瞬时刚体转动的快慢。当它为正时,位置角