熟记复数八结论速解有关高考题.doc

熟记复数八结论　速解有关高考题　　纵观历年高考数学试题，涉及复数的内容年年有，而且所占份量不少，同时还发现都是在一些中低档的常规题，但是许多学生在复习时，由于不注重方法，往往事倍功半，其实稍作研究可知，绝大部分的试题均可以利用课本中例题或习题或其引申题结论，就能快速求解，下面将归纳出八条常结论，结合高考试题加以说明。　　结论1　(1±i)2＝±2i，(±1±i)4＝－4，＝i，in的周期性。　　例1　(1993年全国高考题)，z＝，则z100＋z50＋1的值等于____。　　　　　A．1　　　　　　B．－1　　　　　　C．i　　　　　　D．－i　　　　解：由结论1，可知z2＝－i　　　　　　有z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i，选(D)．　　例2　(1997年上海高考题)已知a＝，那么a4＝____。　　　　解：a＝＝－1＋i，由结论1知a4＝(－1＋i)4＝－4，应填－4。　　　　剖析：证明的第二步运用了Sk+1＝－1，而这正是本题需要证明的　　　　　　关系，上述解法犯了循环论证的错误。　　　　　　事实上，本题的结论是不存在的，当n＝5时，凸5边形有5条对角线，而S5＝6条，　　　　　　故命题不正确。　　结论2　1的立方虚根w的系列性质，其中，则ω＝－＋i，则w3n＝1，3n＝1，　　　　　ω2＝，2＝ω，ω2＋ω＋1＝0，2＋ω＋1＝0．　　例3　(1994年上海高考题)设复数z＝－＋i，则满足zn＝z，且大于1的正整数n中最小是：　　　　　A．3　　　　　　　B．4　　　　　　　C．6　　　　　　　D．7　　　解：由z＝ω及结论2知　　　当ωn＝ω，有n＝3k＋1(k∈Z)　　　　　又　n≥1且n∈N的最小值．　　　　∴　n＝4，选(B)。　　例4　(1996年全国高考题)复数等于：　　　　　A．1＋i　　　B．－1＋i　　　C．1－i　　　D．－1－i　　　解：原式＝＝＝2ω＝－1＋i，故选(B)。　　例5　(1998年全国高考题)复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是(　)　　　解：由结论2知，i3＝－i，(ωi)3＝ω3i3＝－i(其中ω＝－±i)　　　　　∴ ωi是－i的另两个立方根，即±－i，是－i的立方根，选(D)。　　结论3 若复数z＝a＋bi(a，b∈R＋)，则有ctg(argz)＝．　　例6　(1998全国高中联赛题)已知复数z＝1－sinθ＋icosθ(＜θ＜π)，求z的共轭复数　　　　　的辐角主值。　　　解：＝1－sinθ－icosθ，且＜θ＜π，有1－sinθ＞0，－cosθ＞0，则　　　　　tg(argz)＝＝＝tg(－)．　　　　　又．　　　　　∴ 的辐角主值是：　　例7　(1999年全国高考题)设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ，求函数y＝θ－arcz(0＜θ＜)的　　　　　最大值以及对应的θ值。　　　解：由0＜θ＜，得tg0θ＞0．　由z＝3cosθ＋i·2sinθ，得0＜argz＜　　　　　∴ tg(argz)＝＝tgθ　　　　　∴ tgy＝tg(θ－argz)＝＝　　　　　由均值不等式及正切函数的单调性有：当θ＝arctg时，ymax＝arctg　　结论4　设z是虚数，m＞0，若z＋∈R，则|Z|2＝m．　　例8　(1992年“三南”高考题)求同时满足下列两个条件的所有复数z：　　　　 (I)z＋是实数，且1＜z＋≤6．　　　　 (II)z的实部和虚部都是整数．　　　解：若z为实数，有|z＋|≥2＞6，不合题意，则z必为虚数。　　　　　设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)　　　　　∵　z＋是实数，由结论4知　|z|2＝10，即x2＋y2＝10　　　　　　①　　　　　∵　1＜z＋≤6，z＋＝2x　 　∴　1＜2x≤6，＜x≤3　　　　 ②　　　　　由①②和条件(Ⅱ)可得x＝1，y＝±3或x＝3，y＝±1，所以同时满足条件(Ⅰ)、(Ⅱ)的全　　　　　体复数是1±3i，3±i．　　例9　(1996年上海高考题)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2．　　　　　①求|z|的值及z的实部的取值范围。　　　　　②设μ＝，求证μ是纯虚数。　　　　　③求ω－μ2的最小值。　　　解：①设z＝x＋yi，(x，y∈R，且y≠0)　由z＋∈R及结论4知|z|2＝1　即|z|＝1　　　　　　ω＝z＋＝z＋＝2x，又　－1＜ω＜2．　∴　z的实部的取值范围是(－，1)　　　　　②|z|＝1，x2＋y2＝1(y≠0) 　　　　　　μ＝＝＝＝－i是纯虚数.　　　　　③ω－μ2＝2x＋＝2x＋＝2x－＝2[(x＋1)＋]－3.　　　　　　又∵x∈(－，1)，x＋1＞