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现代抽象分析引论 2009年下学期以来，我学习了数学学院陈老师开设的《现代抽象分析引论》的课程，了解了抽象数学的知识，对抽象空间、泛函、测度、拓扑、连续等概念有了新的认识，总结如下： 1.理解数学的抽象性特征 当代世界著名数学家，非尔兹(Fields)奖的获得者M·F·阿蒂亚曾经提出：要处理复杂性骤增的数学问题，就必须建立和发展相应的抽象数学概念。抽象性是数学的特性之一，苏联数学家亚历山大洛夫曾经说过：“抽象性在简单的计算中就已经表现出来，我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校学的是抽象的乘法表即数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。同样，在几何中，我们通常研究的是直线或曲线，而不是日常使用的直绳或曲绳。并且在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下其空间形式和大小的结果。”这就是说，一切数学模式都是抽象思维的产物，并且是对具体事物的量性反映。 数学，它以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，所以，它的研究对象本来是十分具体的。但是为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，而只抽象出空间形式和数量关系进行研究。因此数学具有十分抽象的形式，这就是数学的抽象性。其实，一切科学都有一定的抽象性，不过数学的抽象是对空间形式和数量关系这一特性的抽象。数学的抽象具有高度的抽象性。具体地说有下面几个特点： (1)不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号。 (2)数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。例如，由数到式，由式到函数，由函数到关系等等；又如由具体数的运算到集合的代数运算，然后到各种代数基本结构；再如由加、减、乘、除、乘方等运算到把运算看成特殊的映射，又把映射看作特殊的关系等等。这里我们不难看到它们的顺序性较强(这里也体现了顺序性)。在逐级抽象过程中，若对某一具体步骤缺乏理解，势必会影响到对后面有关内容的理解。 (3)高度的抽象性必然有高度的概括。 (4)抽象能达到感知所不能达到的领域。大家知道，刚学10以内的加法的时候，可与实物对照起来进行(扳手指头)，而学习多位数加法时，不能再用扳手指头了，这时必须要借助于抽象思维(当然也可用算盘珠帮助计算)。 2.数学抽象的类型 数学抽象的常用方法有理想化抽象、等价抽象、强抽象和弱抽象等，现分述如下： 理想化抽象 理想化抽象是一种特殊的数学抽象，它是对客观事物或现象从量的方面进行简单化、完善化的加工处理，使其实际现实中客观事物或现象所必须固有的量的性质和关系的抽象化，并把原则上不可能属于其现实原像的量的特征引用于被构成概念的内涵之中。例如，几何中点、线、面等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。 通过理想化抽象得到的数学概念未必与原型相符。例如，在现实世界重，根本找不到没有大小的点、没有厚度和宽度的线、没有厚度的面。但这些点、线、面的数学概念更加深刻、正确、完全地反映了客观事物的属性，因此，它不是远离事物，而是更加接近事物。由此看出，理想化抽象是主观的抽象形式与客观的具体内容的辩证的统一。这种方法不仅对于数学概念是十分重要的，而且对于建立数学模型也是必不可少的。 欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一笔画问题的数学模型就是利用了理想化抽象的方法。 理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图形又有解析表达式；既有具体的数学，又有一般的抽象符号系统等。 等价抽象 等价抽象是借助于等价关系给出已知集合的一个划分，然后将其中等价的元素“同一化” 而得到一个新集合的一种方法。其具体含义是，如果集合 中的一个二元关系 满足下述三条： （1）自反性 对任意的 ， 和 有关系 ，即 ； （2）对称性 若 ，则 ，其中 ； （3）传递性 若 ， ，则 ，其中 ， 则称 为 上的一个等价关系。由此可以看出得到 的一个划分，使得 被表成若干个“等价类” 的并。等价的元素位于同一等价类，不等价的元素位于不同的等价类之中。然后将同一等价类中的元素“同一化”，即将等价的元素在抽象意义下看作同一个东西，这样，一个等价类形象上凝聚了一个新的抽象元素。由所有这些元素就构成了一个新集合，即 关于 的商集 。由 到 的过程便是等价抽象的过程。例如，在初等数论中，若整数 和 用 除，有相同的余数，则称 和 是对模 同余的，记作 。显然，同余关系是建立在整数系统上的等价关系。再如，有理数可以看作整数偶的等价类。等价抽象方法是建立在新的数学系统的常用手段之一，在数学研究中有着广泛的应用，数学中很多重要概念的出现都是由此而导致的，这种方法在解题中往往亦可发挥其效力。 强抽象 强抽象亦称为强化结构式抽象。它是指