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相交线平行线经典题例与思维点播 【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？ ??? ?【思考与分析】观察图形我们可知，∠AOE与∠BOE是邻补角，所以∠BOE的度数可求，又由OE是∠BOD的角平分线可求得 ∠BOD=2∠BOE，而∠AOC与∠BOD是对顶角，故∠AOC可求.解：∵ AB是直线（已知），??? ∴ ∠AOE与∠BOE 是邻补角（邻补角定义）.??? ∴ ∠AOE+∠BOE=180°（补角定义）.?? 又∠AOE=150°（已知），??? ∴ ∠BOE=180°-∠AOE=180°－150°=30°（等式性质）.??? ∵ OE平分∠BOD（已知），??? ∴ ∠BOD=2∠BOE（角平分线定义）.??? 即 ∠BOD=2×30°＝60°.??? ∵ ∠AOC与∠BOD是对顶角（由图可知），??? ∴ ∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）.??? ∴ ∠AOC＝60°.　反思：在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键. ??【例2】 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（????? ）.??? A.∠2=45°????????? ??? B.∠1=∠3??? C.∠AOD与∠1互为补角???????? D.∠1的余角等于75°30′??? ??? 思考与解: ∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°.??? ∵OF平分∠AOE， ?? ??? ∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3.∴B正确.??? ∵∠AOD与∠1互为补角.∴C正确.??? ∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不正确.故选D.反思：我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突. 【例3】已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度数吗？ ?? 【思考与分析】我们由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE与∠EOC 互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角，于是∠EOC=32°，于是∠AOE可求.?解法一：∵直线CD与EF交于O（已知），?? ∴ ∠EOC=∠DOF （对顶角相等）.?? ∵ ∠DOF＝32°（已知），??? ∴? ∠EOC=32°（等量代换）.?? ∵AB、CD互相垂直（已知），?? ∴? ∠AOC＝90°（垂直定义）.?? ∴? ∠AOE+∠EOC=90°.?? ∴? ∠AOE=90°-∠EOC=90°-32°=58°.　　? 解法二：∵直线AB、CD互相垂直（已知），??? ∴? ∠BOD＝90°（垂直定义）.??? ∴? ∠BOF+∠DOF=90°.??? ∵? ∠DOF＝32°（已知），??? ∴? ∠BOF=90°-∠DOF=58°.??? ∵直线AB与直线EF交于点O（已知），??? ∴ ∠AOE=∠BOF（对顶角相等）.??? ∴∠AOE＝58°.????反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.（一题多解，思维跃动） 【例4】 如图3，直线AB与CD相交于点F，EF⊥CD，则∠AFE与∠DFB之间的关系是_______. ??? ??? 【思考与分析】我们由所给的条件EF⊥CD，得∠CFE=90°，也就是说∠AFE＋∠AFC=90°，又根据对顶角相等，得∠AFC＝∠DFB，所以∠AFE＋∠DFB=90° .本题也可利用平角的定义来解，即由 ∠AFE＋∠DFB＋∠EFD=180°，又因为∠EFD=90°，所以∠AFE＋∠DFB=90°.??? 解： ∠AFE与∠DFB互为余角（或∠AFE＋∠DFB=90°）.???反思：这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式. 【例5】 平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（????? ）对. ??? A. 4对?? B. 8对??? C. 12对?? D. 16对??? 【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线