矩形菱形正方形分类汇编1.doc

三．解答题 1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F. (1) 求证：DE－BF = EF． (2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）． 【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似 【答案】(1) 证明: ∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG ∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE ∴ BF = AE , AF = DE ∴ DE－BF = AF－AE = EF EF = 2FG 理由如下∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG ∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴ ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG 由(1)知, AE = BF∴ EF = BF = 2 FG (3) 如图 DE + BF = EF 说明:第（2）问不先下结论，只要解答正确，给满分.若只有正确结论，. 中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得． （1）求证：； （2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论． 【关键词】全等三角形的性质与判定、菱形的性质与判定 【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是边上的高，且是由沿方向平移而成． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）当时，四边形是菱形． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 3．（2009 年佛山市）如图，在正方形中，．若，求的长． 【关键词】正方形知识的综合应用 【答案】解（略）． 注：证明，给5分；根据三角形全等得，给1分． 4．（2009 年佛山市）（1）列式：与的差不小于； （2）若（1）中的（单位：）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加， 则正方形的面积至少增加多少？ 【关键词】正方形的性质，及不等式综合应用 【答案】（1）；（化为扣1分）（2）面积增加．（列式2分，整理1分，不等关系1分） 答：面积至少增加． 5.（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E. （1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明. （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由. 【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定 【答案】（1）△AED≌△CEB′ 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D 又∠B′EC=∠DEA ∴△AED≌△CEB′ （2）延长HP交AB于M，则PM⊥AB ∵∠1=∠2，PG⊥AB′ ∴PM=PG ∵CD∥AB ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴AE=CH=8-3=5 在Rt△ADE中，DE=3 AD==4 ∵PH+PM=AD ∴PG+PH=AD=4. 6. (2009年达州如图7，在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由. BCFD是菱形，理由如下： ∵点D、点E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥＝ 12BC 又∵△CFE是由△ADE旋转而得 ∴DE=EF ∴DF∥＝ BC ∴四边形BCFD是平行四边形 又∵AB=2BC，且点D为AB的中点 ∴BD=BC ∴BCFD是菱形 7．（2009年中山）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推． （1）求矩形的面积； （2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积． 【关键词】矩形、平行四边形有关的计算 【答案】（1）在中， ， ． （2）矩形，对角线相交于点， ． 四边形是平行四边形， ， ． 又， ， ， 同理，， 第6个平行四边形的面积为． 8．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，． （1）求证：△ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号）． 【关键词】菱形 【答案】 （1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴AC平分∠BCD． 又∠ACD=30°，∴∠BCD=6