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初二年级几何 第四章 第二单元 矩形，菱形，正方形，中心对称和中心对称图形 一、教法建议 【抛砖引玉】 对于矩形，正方形的概念，性质和判断定定理，关键是它们概念．矩形、菱形、正方形都是在平行四边形的前提下定义的，因此在教学中要采取以旧引新的办法，通过四根木条所制教具──平行四边形，调整教具，使之成为矩形，菱形，正方形．通过实物演示，从同学们熟悉的平行四边形入手，导入新课，学生既易接受，又对新知识产生兴趣，易于掌握． 讲授好中心对称的概念和性质是本节重点，它渗透着旋转变换的思想，学生比较生疏．通过实物观察，从实践中来，再渗透中心对称的定义，上升为理论，学生易于接受．对中心对称和中心对称图形两个概念的区别和联系要在教学中交待清楚． 【指点迷津】 给学生指出，正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形，对它们之间的关系要搞清楚．这些概念重叠交错，易于混淆．对于这部分内容可采取列表法进行系统归纳、比较，使学生掌握它们之间从属关系，便可澄清一些模糊的概念． 二、学海导航 【思维基础】 1.矩形的性质是 矩形常用判定方法是 ． 2.菱形的性质是 菱形常用判定方法是 ． 3.正方形的性质是 正方形的判定方法是 ． 4.中心对称 中心对称图形 5.在箭头的横线上下填上适当的文字： 图1 【精典题解】 例 从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线．求证：连结各垂足的四边形是菱形． 提示思路：对于几何“文字题”，从分析题设，结论，画图；写已知，求证，直至完成证明，每一步骤都不可缺．对于这类问题，首先根据题设画出准确图形，根据题设及图形翻译成数学语言，即写出已知与求证．然后再去找思路． 已知：菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，ON⊥AD，OM⊥BC，OE⊥AB，OF⊥DC，点N，M，E，F分别为垂足． 求证：矩形EMFN是矩形． 判定四边形是矩形的常用方法是： 一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 是矩形 图2 有三个角是直角的四边形 由此，本例至少可找到三种证明途径． 思路一：利用“一个角是直角的平行四边形是矩形”打开思路 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC ∵OM⊥BC，∴OM⊥AD， 又∵ON⊥AD，过O只能作一条直线垂直于AD， ∴M、N、O在一条直线上． 同理：E、F、O也在同一条直线上． ∵菱形ABCD中，∠1=∠2（菱形性质定理2） 又∵OE⊥AB，ON⊥AD， ∴OE=ON， 同理：OE=OM，OM=OF， ∴OE=OF，OM=ON． ∴边形EMFN是平行四边形（平行四边形判定定理3）． ∵OE=OM=ON， ∴∠OEM=∠OME，∠OMF=∠OFM． ∵∠OEM＋∠OME＋∠OMF＋∠OFM=90°×2， ∴∠OME＋∠OMF=90°，即∠EMF=90°． ∴ EMFN是矩形，（一个角是直角的平行四边形是矩形） 思路2：利用“对角线相等的平行四边形是矩形”打思路． 仿思路1可证得四边形EMFN为平行四边形，又∵OE=OM=ON=OF ∴OE＋OF=OM＋ON，即EF=MN． ∴ EMFN为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 思路3：利用“有三个角是直角的四边形”是矩形打开思路． 仿思路1可证得∠EMF=90°． 同理可证：∠MFN=90°，∠MEN=90°． ∴四边形EMFN为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 小结：上述命题还可以改变为如下命题． 命题变更之一: 过菱形两条对角线的交点任作两条直线分别与各边相交于一点,你猜测连结各交点所得的四边形是什么形状?试证明你的猜测. 命题变更之二: 过菱形两条对角线的交点任作两条直线分别与各边相交于一点,并且两条对边连线始终保持相等.你猜测连结各点所得的四边形是矩形吗?若是矩形,请给以证明.若不是,请说明理由. 命题变更之三: 从菱形两条对角线的交点分别向两边引垂线,若菱形有一个角变化为90°,那么,连结各垂足的四边形