矩阵初等变换的应用举例.ppt

矩阵初等变换的应用举例 内容摘要 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 本文列举了利用矩阵的初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区别。 目 录 引 言 1 行列式的计算 2 求矩阵的逆 3 求矩阵的秩 4 求线性方程组的解 5 求向量组的线性关系 6 确定一向量组能否由另一向量组线性表出 7 求向量组的秩与极大无关组 8 判断两向量组是否等价 9 向量空间内向量在基下的坐标 10 一组向量组生成的子空间的基与维数 11 求两个子空间的和与交的基与维数 12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵 结 论 引 言 矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要 的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。 下面三种变换定义为矩阵初等行变换： 1.互换两行（记 ? ）； 2.以数 （ ≠ ）乘以某一行（记 ）； 3.把某一行的 倍加到另一行上（记 ）。 若将上述定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换。初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系，化二次型为标准型等。 本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区别才能正确使用这些计算格式。 首先我们给出利用初等行变换时矩阵消元的一般程序 A 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 正 文 1 行列式的计算 一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形 例1 计算 det A的值。 例2 求矩阵 的逆。 解： 3°n-k个解向量的线性组合：C１X１+C2X２+…+Cn-kXn-k(C１，C２，…，Cn-k为任意常数)就是AX=0的通解。(2)非齐次线性方程组AX=B，A是m×n矩阵1°对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)与r(AB)，若r(A)＜r(AB)，则AX=B无解；若r(A)=r(AB) 则AX=B有解，转入2° 2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若r(A)=r(AB)=k＜n，则AX=B有无穷多解，转入3°3°以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量为0，求得AX=B的一个特解X0 4°在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的一般解，分别令一个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组AX=0的基础解系，X１，X２，…，Xn-k与通解C１X１＋C２X2＋…＋C n-kXn-k5°AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解C１X1+C２X2+…+Cn-kXn-k+X0(C１，…，Cn-k为任意常数) 就是AX=B的通解。 解： 5 确定向量组的线性相关性 例6 已知向量组α1=(2,-1,3,1)T，α2=(4,-2,5,4)T, β=(2,-1,4,-1)T，试判断β能否由α1，α2线性表出，若能，则写出相关的线性组合。 例7 利用矩阵初等行变换求下列矩阵的行向量组的秩与一个极大无关组 α1=[1,1,1,0]T,α2=[1,1,0,0]T,α3=[3,3,2,0]T,α4=[1,0,0,0]T, α5=[3,2,1,0]T 8 判断两向量组是否等价 由于r（A）≠r（B）≠r（C），所以向量组α1，α2与向量组β1，β2不等价。 例9 求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标α1=[1,1,1,1]T α2=[1，1，-1，-1]Tα3=[1，-1，1，-1]T α4=[1，-1，-1，1]T,ξ=[1，2，1，1] 解：以α1，α2，α3，α4，ξ为列构成矩阵A，并对它施