矩阵范数赵彤.doc

矩 阵 范 数 赵 彤 鞍山师范学院数学系 00级 114005 实数的绝对值和复数的模给出了实数和复数的“大小”。平面向量x，当其在直角坐标系中的分量为时，也用给出其大小的度量。在许多情况下，我们不仅需要定性地描述一个矩阵，而且需要对之进行定量地刻画。为此，我们引入矩阵的某些函数，他们在某种意义下给出了矩阵“大小”的量度，其作用相当于复数的模，我们统称这些函数为矩阵范数。 矩阵范数 一、向量范数的定义与性质 定义1.1 设V是数域F（一般为实数域R或复数域C）上的线性空间，用表示按照某个法则确定的与向量x对应的实数，且满足： （1）非负性：当时，＞0；当且仅当时，=0； （2）其次性：，为任意数； （3）三角不等式：对于V中任何向量、，都有； 则称实数是向量的范数. 性质1.1 （1）当时，； （2）； （3）； （4）. 二、矩阵范数的定义 矩阵空间是一个维的线性空间，将矩阵A看作线性空间中的向量，可以按照向量范数的方式定义A的范数. 但是，矩阵之间还有乘法运算，故应在定义时增加一个条件. 定义1.2 对于任何一个矩阵，用表示按照某个法则确定的与矩阵对应的实数，且满足： 非负性：当时， ０； 当且仅当时， ＝０； （2）齐次性： ，为任意复数； （3）三角不等式：对于任何两个同类型矩阵,都有； （4）矩阵乘法相容性：若与可乘，有. 则称对应于的这个实数是矩阵的矩阵范数. 由规定矩阵范数的具体方法，可得到矩阵范数的又一定义，本文仅以定义1.2为主，来研究矩阵范数及其一些应用. 例1.1 设，分别定义实数： （1）； （2）. 验证它们都是中的矩阵范数. 证明：（1）当时，；当时，存在与使得，从而有. 对于,有. 对于, . 对于, 因此,由(1)定义的是中的矩阵范数. （2）当时，；当时，存在与使得，从而有； 对于, 有； 对于, ； 对于, 因此,由(2)定义的是中的矩阵范数. 例1.2 设，且判断实数是否构成中的矩阵范数. 解：取， 那么，但是 从而，因为，所以，不满足矩阵乘法的相容性. 因此，不能构成中的矩阵范数. 三、几种常用的矩阵范数 定义1.4 对于上的矩阵范数和上的同类向量范数，如果，，则称范数与向量范数是相容的. 定理1.1设，则从属向量的三种范数的矩阵范数依次是： （1）； （2），为的最大特征值； （3）. 通常称，，依次为列和范数、谱范数及行和范数. 我们常用的矩阵范数还有： （1）； （2）； （3）. 证明：（1）对于函数而言，它显然具有非负性和齐次性.先仅就三角不等式与相容性验证于下： ； 因此，是矩阵范数. （2）同理可证也是的矩阵范. （3）显然具有非负性和齐次性. 设的第列为（=1，2，，）， 的第列为（=1，2，，），则有 对上式第二项应用Cauchy不等式，即可得 即三角不等式成立. 再设，则，于是有 . 对括号内的项应用Cauchy不等式得 即是的矩阵范数，这一范数又记作. 四、矩阵范数的性质 性质1.2 设,且与都是酉矩阵，则, 即给左乘或右乘以酉矩阵后，其值不变. (在时,和都是正交矩阵). 证明: 若记的第列(=1,2,,n), 则有 即 于是 . 性质1.3 和酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相同的，即若，则，其中是酉矩阵. 证明： 由性质1可得. 性质1.4 若与是任意两种矩阵范数，则总存在正数对于任意矩阵恒有. 证明：若范数与都与一固定范数，如范数满足上不等式的关系，则这两种范数之间也存在上述关系. 这是因为若存在正常数和 使 ， 成立， 则显然有. 令， ，便得不等式， 因此只要对证明不等式成立就行了. 性质1.5 若为上的矩阵范数，则. 证明：对于上的任何一种从属范数，有，但对于一般的矩阵范数，由于，对于成立， 所以. 性质1.6 设为上的任意矩阵范数，对，只要，就有. 证明：由于，可得， 同理可证：, 此即； 下设为的一组基，且令，对于，均可表示为上述基的右线性组合. 设，由 取，则当时， 再由刚证明过的式子，则有. 性质1.7 ,列向量，则： （1）矩阵范数与向量的P-范数相容（）. 证明：设，, 则有，， . （2）矩阵范数与向量范数相容. 证明：设， 则有， ， =, 故矩阵范数与向量范数相容. 例1.3 若可逆,是中的向量范数. 是中从属于向量范数的矩阵范数，试导出与矩阵的1-范数之间的关系式. 解：由从属范数的定义可得： . 例1.4 若可逆，给定中的矩阵范数，对于，定义实数，试证明是中的矩阵范数. 证明：当时，；当时，，从而； 对于，有 对于，有 故是中的矩阵范数. 矩阵范数的一些应用 阵的谱半径与矩阵范数的关系 定义2.1 设的几个特征值为，称为的谱半径. 性质2.1若，则